武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（五）
∫ − π π ∣ x ∣ ( x 3 + sin 2 x ) cos 2 x d x \int_{-\pi}^{\pi}\lvert x \rvert(x^3+\sin^2x)\cos^2x\,{\rm d}x ∫−ππ∣x∣(x3+sin2x)cos2xdx
分析：
首先，注意到积分上下限关于原点对称
这个函数整体上没有奇偶性，所以分部开来看两项
第一项为奇函数，第二项为偶函数
根据偶倍奇零
原式
=
∫
−
π
π
∣
x
∣
sin
x
2
cos
2
x
d
x
原式=\int_{-\pi}^{\pi} \lvert x \rvert \sin x^2\cos^2x\,{\rm d}x
原式=∫−ππ∣x∣sinx2cos2xdx
=
2
∫
0
π
∣
x
∣
sin
2
x
c
o
s
2
x
d
x
=2\int_{0}^{\pi}\lvert x \rvert \sin^2x cos^2x \,{\rm d}x
=2∫0π∣x∣sin2xcos2xdx
=
2
∫
0
π
x
sin
x
2
c
o
s
2
x
d
x
=2\int_{0}^{\pi}x\sin x^2cos^2x\,{\rm d}x
=2∫0πxsinx2cos2xdx
∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\,{\rm d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,{\rm d}x ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx
=
2
×
π
2
∫
0
π
sin
2
x
cos
2
x
d
x
=2\times \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^2x \cos^2x\,{\rm d}x
=2×2π∫0πsin2xcos2xdx
=
π
∫
0
π
sin
2
x
cos
2
x
d
x
=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2x\cos^2x\,{\rm d}x
=π∫0πsin2xcos2xdx
=
2
π
∫
0
π
2
sin
2
x
(
1
−
s
i
n
2
x
)
d
x
=2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x(1-sin^2x)\,{\rm d}x
=2π∫02πsin2x(1−sin2x)dx
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,{\rm d}x
∫02πsinnxdx
=
n
−
1
n
×
n
−
3
n
−
2
×
n
−
5
n
−
4
…
×
1
2
×
π
2
(
n
为偶数
)
=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times \frac{n-5}{n-4} …\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}(n为偶数)
=nn−1×n−2n−3×n−4n−5…×21×2π(n为偶数)
=
n
−
1
n
×
n
−
3
n
−
2
×
n
−
5
n
−
4
…
×
2
3
(
n
为奇数
)
=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2} \times \frac{n-5}{n-4}…\times \frac{2}{3}(n为奇数)
=nn−1×n−2n−3×n−4n−5…×32(n为奇数)
=
2
π
(
1
2
×
π
2
−
3
4
×
1
2
×
π
2
)
=2\pi(\frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2})
=2π(21×2π−43×21×2π)
=
2
π
×
1
4
×
π
4
=2\pi\times\frac{1}{4}\times\frac{\pi}{4}
=2π×41×4π
=
π
2
8
=\frac{{\pi}^2}{8}
=8π2