【泛函分析】区间上的单调有界函数必存在左右极限，间断点必为第一类间断点
定理1. 函数在区间上存在左右极限等价于: 所有间断点(如果存在的话)都为第一类间断点.
证明: 充分性: 对于区间上任意一点, 若该点为连续点, 则该点处存在左右极限, 若该点为间断点, 则其为第一类间断点, 因而该点处存在左右极限.
必要性: 在每一点处左右极限都存在, 因此若该点处是间断点, 必为第一类间断点.
定理2. 若 f ( x ) f(x) f(x) 是 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的单调有界函数, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上每一点处存在左右极限.
证明: 设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是单调递增的, 证明
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上每一点处存在右极限: 对于
∀
x
0
∈
[
a
,
b
]
\forall x_0\in [a,b]
∀x0∈[a,b], 设
α
=
inf
x
∈
(
x
0
,
b
]
f
(
x
)
\alpha = \inf\limits_{x\in (x_0, b]}f(x)
α=x∈(x0,b]inff(x), 由
f
(
x
)
f(x)
f(x) 有界可知
α
<
∞
\alpha\lt \infty
α<∞, 则对于
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon \gt 0
∀ϵ>0,
∃
x
′
∈
(
x
0
,
b
]
\exists x'\in (x_0, b]
∃x′∈(x0,b],
f
(
x
′
)
−
α
<
ϵ
f(x')-\alpha\lt \epsilon
f(x′)−α<ϵ, 由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是单调递增的, 因此当
x
∈
(
x
0
,
x
′
]
x\in (x_0,x']
x∈(x0,x′] 时,
f
(
x
′
)
−
α
<
ϵ
f(x')-\alpha\lt \epsilon
f(x′)−α<ϵ. 综上可知
α
\alpha
α 为
x
0
x_0
x0 处的右极限.
证明
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上每一点处存在左极限: 对于
∀
x
0
∈
[
a
,
b
]
\forall x_0\in [a,b]
∀x0∈[a,b], 设
α
=
inf
x
∈
[
a
,
x
0
)
f
(
x
)
\alpha = \inf\limits_{x\in [a, x_0)}f(x)
α=x∈[a,x0)inff(x), 由
f
(
x
)
f(x)
f(x) 有界可知
α
<
∞
\alpha\lt \infty
α<∞, 则对于
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon \gt 0
∀ϵ>0,
∃
x
′
∈
[
a
,
x
0
)
\exists x'\in [a, x_0)
∃x′∈[a,x0),
α
−
f
(
x
′
)
<
ϵ
\alpha-f(x')\lt \epsilon
α−f(x′)<ϵ, 由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是单调递增的, 因此当
x
∈
[
x
′
,
x
0
)
x\in [x', x_0)
x∈[x′,x0) 时,
α
−
f
(
x
′
)
<
ϵ
\alpha - f(x')\lt \epsilon
α−f(x′)<ϵ. 综上可知
α
\alpha
α 为
x
0
x_0
x0 处的左极限.
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是单调递减时同理可证.
推论. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的间断点必为第一类间断点.
注: 这里仅以闭区间为例, 对于其他类型的区间上述结论亦成立.
参考 百度题库