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1.1 n阶行列式子的定义

article 2024/11/15 17:39:36

学习目标：

掌握n阶行列式的定义和计算方法，并能够解决相关的数学问题。

学习步骤：

学习n阶行列式的定义，需要一定的抽象思维能力和数学基础。

了解基本概念和性质：在学习n阶行列式之前，需要先了解行列式的基本概念和性质。这包括行列式的定义、展开式、性质和应用等方面。可以通过教材、课程讲义和在线资源等途径来学习。
掌握计算方法：n阶行列式的计算方法比较繁琐，需要掌握具体的计算方法和技巧。例如，可以使用余子式和代数余子式的方法进行计算，或者使用行变换和列变换等方法简化计算。
做练习和例题：在学习n阶行列式的定义过程中，需要进行大量的练习和例题，以加深理解和掌握计算方法。可以使用教材或者在线资源上的练习题和例题来进行练习。
参考其他学习资源：除了教材和课程讲义之外，还可以参考其他学习资源，如数学论文、研究报告、网上教程和视频讲座等，以便更全面地了解n阶行列式的定义和应用。

总之，学习n阶行列式的定义需要进行系统性的学习和练习，并掌握具体的计算方法和技巧。在学习过程中，可以利用多种资源来帮助自己更好地理解和掌握这一概念。

1.1.1 2阶和3阶行列式的定义

当矩阵为2阶时，它的行列式的定义如下：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$和$a_{22}$分别是2阶矩阵的四个元素。这个行列式可以看成是矩阵的对角线元素之积减去反对角线元素之积。

当矩阵为3阶时，它的行列式的定义如下：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$和$a_{33}$是3阶矩阵的九个元素。这个行列式可以看成是所有主对角线上元素的积加上所有由三个元素构成的符号相间的三元组的积之和，减去所有副对角线上元素的积加上所有由三个元素构成的符号相间的三元组的积之和。

这些定义给出了2阶和3阶行列式的具体计算公式。在实际计算中，可以使用余子式和代数余子式的方法，或者使用行变换和列变换等方法简化计算。

1.1.2 n阶行列式的定义

当我们要求解一个n阶方阵的行列式时，我们可以使用下面的定义：

其中，$S_n$表示由$n$个元素组成的置换群，$\sigma$是其中一个置换，$sgn(\sigma)$是该置换的符号，$a_{i\sigma(i)}$表示矩阵A中第$i$行第$\sigma(i)$列的元素。

这个定义实际上是在将矩阵的所有行按照某个排列顺序取一个元素，并将这些元素乘起来后累加，其中的符号$sgn(\sigma)$是一个表示该排列的“奇偶性”的符号。

举例来说，对于一个3阶方阵，我们需要考虑所有可能的6种排列方式，并计算每种排列的值，最后将这些值相加，即得到该矩阵的行列式。下面是一个3阶矩阵的例子：

我们按照顺序依次取出第一行的元素$a_{11},a_{12},a_{13}$，第二行的元素$a_{21},a_{22},a_{23}$，第三行的元素$a_{31},a_{32},a_{33}$，并且将它们乘起来。然后，我们考虑所有可能的6种排列方式，并将这些乘积相加。例如，对于排列$\sigma = (1,2,3)$，我们有：