一道2023年数学分析真题
这道题是这样的：
f
(
x
)
=
sin
6
x
+
cos
6
x
f(x)=\sin^6x+\cos^6x
f(x)=sin6x+cos6x，求
f
(
n
)
(
x
)
f^{(n)}(x)
f(n)(x).
计算过程比较简单：
sin
6
x
+
cos
6
x
=
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
(
sin
4
x
+
cos
4
x
−
sin
2
x
cos
2
x
)
（立方和公式
)
=
sin
4
x
+
cos
4
x
−
sin
2
x
cos
2
x
（
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
)
=
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
2
−
3
sin
2
x
cos
2
x
（和的平方公式
)
=
1
−
3
sin
2
x
cos
2
x
（
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
)
=
1
−
3
4
sin
2
2
x
（倍角公式
)
\begin{aligned} \sin^6x+\cos^6x&=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x) &（立方和公式)\\ &=\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x&（\sin^2x+\cos^2x=1)\\ &=(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x&（和的平方公式)\\ &=1-3\sin^2x\cos^2x&（\sin^2x+\cos^2x=1)\\ &= 1 - \frac{3}4\sin^22x&（倍角公式) \end{aligned}\\
sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x−sin2xcos2x)=sin4x+cos4x−sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)2−3sin2xcos2x=1−3sin2xcos2x=1−43sin22x（立方和公式)（sin2x+cos2x=1)（和的平方公式)（sin2x+cos2x=1)（倍角公式)
现在前面的1不用管，那么只剩下
−
3
4
sin
2
2
x
- \frac{3}4\sin^22x
−43sin22x了。这个
−
3
4
- \frac{3}4
−43也暂时踢出去，那么就剩下
sin
2
2
x
\sin^22x
sin22x了。对于这个，可以用下面的公式：
sin
2
2
x
=
1
−
cos
4
x
2
=
1
2
−
1
2
cos
4
x
\begin{aligned} \sin^22x=\frac{1-\cos4x}{2}=\frac{1}2-\frac{1}2\cos4x & \end{aligned}
sin22x=21−cos4x=21−21cos4x
前面的
−
1
2
-\frac{1}2
−21先不管，直接求
cos
4
x
\cos4x
cos4x的n阶导数：
d
n
cos
4
x
d
x
n
=
4
n
cos
(
4
x
+
n
π
2
)
\frac{d^n\cos4x}{dx^n}=4^n\cos(4x+\frac{n\pi}2)
dxndncos4x=4ncos(4x+2nπ)
所以有：
d
n
sin
2
2
x
d
x
n
=
−
1
2
4
n
cos
(
4
x
+
n
π
2
)
\frac{d^n\sin^22x}{dx^n}=-\frac{1}24^n\cos(4x+\frac{n\pi}2)
dxndnsin22x=−214ncos(4x+2nπ)
再代回去：
d
n
(
1
−
3
4
sin
2
2
x
)
d
x
n
=
3
8
4
n
cos
(
4
x
+
n
π
2
)
\frac{d^n(1 - \frac{3}4\sin^22x)}{dx^n}=\frac{3}84^n\cos(4x+\frac{n\pi}2)
dxndn(1−43sin22x)=834ncos(4x+2nπ)
所以最后结果为：
d
n
(
sin
6
x
+
cos
6
x
)
d
x
n
=
3
8
4
n
cos
(
4
x
+
n
π
2
)
\frac{d^n(\sin^6x+\cos^6x)}{dx^n}=\frac{3}84^n\cos(4x+\frac{n\pi}2)
dxndn(sin6x+cos6x)=834ncos(4x+2nπ)