Zero $\to$ Hero : 1

 实现了一个字符级中文语言模型，数据采用的是开源中文姓名数据集中的一部分，主要内容如下：

1. 字符的预处理
   • 统计频次
   • 计算字符对频次矩阵
2. 实现一个简单的先验概率模型
   • 从训练数据中计算字符的先验概率
   • 根据先验概率通过采样生成字符串
   • 根据先验概率计算字符串的平均负对数似然度
3. 优化语言模型，简单神经网络模型
   • 模拟一个简单语言模型的预测过程
   • 计算模型预测结果的负对数似然度
   • 通过梯度优化模型的参数，最小化模型的负对数似然度

import torch
import matplotlib.pyplot as plt 
import torch.nn.functional as F
from matplotlib.font_manager import FontProperties
font = FontProperties(fname='../chinese_pop.ttf', size=10)

数据集

数据是一个中文名数据集

• 名字最小长度为 2：
• 名字最大长度为 3：

words = open('../Chinese_Names_Corpus.txt', 'r').read().splitlines()
# 数据包含100多万个姓名，过滤出一个姓氏用来测试
names = [name for name in words if name[0] == '王' and len(name) == 3]
len(names)

52127

names[:10]

['王阿宝', '王阿炳', '王阿成', '王阿达', '王阿大', '王阿迪', '王阿多', '王阿芳', '王阿凤', '王阿福']

字符对统计:

把数据拆分为简单的上下文对，并统计在数据集中出现的频次：

b = {}
for w in names:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        bigram = (ch1, ch2)
        b[bigram] = b.get(bigram, 0) + 1

# top 100
sorted(b.items(), key = lambda kv: -kv[1])[:10]

[(('.', '王'), 52127),
 (('王', '文'), 599),
 (('华', '.'), 555),
 (('王', '晓'), 538),
 (('王', '子'), 500),
 (('平', '.'), 481),
 (('明', '.'), 472),
 (('文', '.'), 450),
 (('林', '.'), 432),
 (('王', '建'), 431)]

从统计结果可以看到，以(‘平’, ‘明’, ‘文’,‘林’)结尾的名字最多，因为数据只包含王姓，所以('.', '王')频次最高。

构建词汇表到索引，索引到词汇表的映射，词汇表大小为：1561（加上开始和结束填充字符）：

chars = sorted(list(set(''.join(names))))
char2i = {s:i+1 for i,s in enumerate(chars)}
char2i['.'] = 0               # 填充字符
i2char = {i:s for s,i in char2i.items()}
len(chars)

1650

计算字符频次矩阵：

N = torch.zeros((1651, 1651), dtype=torch.int32)
for w in names:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        N[ix1, ix2] += 1

部分字符组合和可视化：

• 行和列是全部的字符共1650+1（‘.’)
• 每行统计数据中，所有两两字符组合的频次

plt.figure(figsize=(20, 20))
plt.imshow(N[:27,:54], cmap='Blues')
for i in range(27):
    for j in range(54):
        chstr = i2char[i] + i2char[j]
        plt.text(j, i, chstr, ha="center", va="bottom", color='gray', fontproperties=font)
        plt.text(j, i, N[i, j].item(), ha="center", va="top", color='gray')
plt.axis('off')

构建简单的语言模型

根据词频矩阵对频次进行行方向的归一化，得到先验概率矩阵，根据概率矩阵预测下一个词，过程如下：

1. 根据矩阵的第一行，选择概率最高的词组（.x)，(.王)被选中的概率最高。
2. 然后根据王对应的索引，查询矩阵的对应行，选择(王x)概率最高的组合。
3. 如此这般,…直到遇到(x.)或者字符达到最大长度结束。

第一行是.和所有字符的组合的概率分布，由于数据是过滤了全部的王姓，所以王的概率是最高的，这个结果是正常的。

# 计算每个字符组合的先验概率
p = N[0].float()
p = p / p.sum()
# 根据先验概率采样
g = torch.Generator().manual_seed(2147483647)
ix = torch.multinomial(p, num_samples=1, replacement=True, generator=g).item()
i2char[ix]

'王'

下面计算先验概率矩阵，根据先验概率生成10个名字：

# 字符对儿的先验概率矩阵
P = (N+1).float()
P /= P.sum(1, keepdims=True)
P.shape

torch.Size([1651, 1651])

g = torch.Generator().manual_seed(2147483647)

for i in range(10):
    out = []
    ix = 0
    while True:
        p = P[ix]
        ix = torch.multinomial(p, num_samples=1, replacement=True, generator=g).item()
        out.append(i2char[ix])
        if ix == 0 or len(out) == 3:
            break
    print(''.join(out))

王静修
王映凤
王定罗
戈佶次
王安.
王永仰
王娆拥
王牡右
王友缨
王梓集

以上就是最简单的概率模型，通过查表的方式生成名字字符串，生成过程都是基于可观察数据中的真实概率。

概率模型的量化评估

如何量化概率模型的生成结果？

答案是：likelihood,也叫做可能性或似然度，计算方式简单就是把所有词的概率相乘即可。例如，王阿宝：

$likelihood=p(.王)\times p(王阿)\times p(阿宝)\times p(宝.)$

但是这会出现一个问题，就是概率都是小于1的值，只会越乘越小，所以可以计算log_likelihood，更利于观察：

${log}_{likelihood}=log(p(.王))+log(p(王阿))+log(p(阿宝))+log(p(宝.))$

对数变换后，在增加一些常用的变换，取负值和计算平均似然度：

$$\begin{gathered} MeanNegativeLogLikelihood=\frac{-{log}_{likelihood}}{n}=\frac{(log(p(.王))+log(p(王阿))+log(p(阿宝))+log(p(宝.)) \\ big)\ast -1}{n} \end{gathered}$$

这意味着，如果生成的结果越好，平均负对数似然度就应该越小，反之越大。

下面计算部分模型生成结果的MNLL=MeanNegativeLogLikelihood：

# 计算字符串的对数似然度
log_likelihood = 0.0
n = 0

for w in ["王静修","王映凤","戈佶次"]:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']        
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        prob = P[ix1, ix2]
        logprob = torch.log(prob)
        log_likelihood += logprob
        n += 1
        print(f'{ch1}{ch2}: {prob:.4f} {logprob:.4f}')
print(f'{log_likelihood=}')
print('negative log likelihood =',-log_likelihood)
mean_nll = -log_likelihood/n
print(f'{mean_nll=}')

.王: 0.9693 -0.0312
王静: 0.0028 -5.8954
静修: 0.0005 -7.5648
修.: 0.0143 -4.2474
.王: 0.9693 -0.0312
王映: 0.0005 -7.5968
映凤: 0.0006 -7.4260
凤.: 0.1019 -2.2840
.戈: 0.0000 -10.8926
戈佶: 0.0006 -7.4146
佶次: 0.0006 -7.4097
次.: 0.0006 -7.4103
log_likelihood=tensor(-68.2039)
negative log likelihood = tensor(68.2039)
mean_nll=tensor(5.6837)

下面根据先验概率计算出整个数据的MNLL：

# 计算全部样本的平均负对数似然度
log_likelihood = 0.0
n = 0

for w in names:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']        
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        prob = P[ix1, ix2]
        logprob = torch.log(prob)
        log_likelihood += logprob
        n += 1

nll = -log_likelihood
mean_nll = nll/n
print(f'{mean_nll=}')

mean_nll=tensor(3.9716)

下面随机测试一些名字：

# 计算字符串的对数似然度
log_likelihood = 0.0
n = 0

for w in ["一乃乃","乃乃乃","丁丫丫"]:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']        
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        prob = P[ix1, ix2]
        logprob = torch.log(prob)
        log_likelihood += logprob
        n += 1
        print(f'{ch1}{ch2}: {prob:.4f} {logprob:.4f}')
print(f'{log_likelihood=}')
print('negative log likelihood =',-log_likelihood)
mean_nll = -log_likelihood/n
print(f'{mean_nll=}')

.一: 0.0000 -10.8926
一乃: 0.0005 -7.6406
乃乃: 0.0006 -7.4559
乃.: 0.0006 -7.4559
.乃: 0.0000 -10.8926
乃乃: 0.0006 -7.4559
乃乃: 0.0006 -7.4559
乃.: 0.0006 -7.4559
.丁: 0.0000 -10.8926
丁丫: 0.0006 -7.4236
丫丫: 0.0006 -7.4103
丫.: 0.0012 -6.7172
log_likelihood=tensor(-99.1490)
negative log likelihood = tensor(99.1490)
mean_nll=tensor(8.2624)

通过上面的测试结果，可以发现数据中真实正常的名字MNLL = 3.97，根据先验概率生成的结果MNLL = 5.68，随机编的奇葩名字MNLL = 8.26。这也验证生成效果越差,MNLL值越大。

优化模型:

接下就是通过神经网络模型来替代之前的简单模型，通过找到一组参数可以实现以下目标：

• 最大化生成结果的对数似然度 $=$ 最小化负对数似然度 $=$ 最小化平均负对数似然度，生成更加符合数据分布的结果。

$$x_{n\ast 1651}\times W_{1651\ast 1651}={logits}_{n\ast 1651}$$

$$MNLL=\frac{-{\sum }_{i=1}^{n}log(f_p(logits)[i])}{n}$$

• $W$ : 模型的参数矩阵
• 1651 : 词汇表的大小，也是输入向量化后的长度
• n ：输入输出序列的长度
• $f_p$ : 转换函数把logits缩放为0~1之间概率值
• MNLL : 平均负对数似然度

创建训练数据：（x，y）

xs, ys = [], []

for w in names[:1]:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        print(ch1, ch2)
        xs.append(ix1)
        ys.append(ix2)
    
xs = torch.tensor(xs)
ys = torch.tensor(ys)

. 王
王 阿
阿 宝
宝 .

下面我们模拟神经网络模型的推理过程，简单起见，模型只有一个权重矩阵（输入$\to$输出），计算模型输出：

1. 对输入进行向量化，one-hot编吗：

xenc = F.one_hot(xs, num_classes=1651).float()
xenc

tensor([[1., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0.,  ..., 0., 0., 0.]])

模型输入向量的可视化：

2. 随机初始化的输入到输出之间的权重矩阵$W$，计算模型的输出：预测ys的概率分布，即xs每个词对应下个词的概率分布。

W = torch.randn((1651, 1651))
W.shape

torch.Size([1651, 1651])

权重矩阵的可视化：

3. 计算模型的输出：矩阵乘法

logits = xenc @ W # log-counts
counts = logits.exp() # equivalent N
probs = counts / counts.sum(1, keepdims=True) # scale to 0~1
probs

tensor([[2.6660e-04, 3.3742e-03, 1.3357e-03,  ..., 3.4182e-04, 2.3816e-04,
         3.4352e-04],
        [2.1228e-04, 1.5516e-03, 5.3819e-05,  ..., 1.5116e-03, 1.8045e-04,
         1.7484e-04],
        [7.3022e-04, 8.9569e-04, 1.9453e-04,  ..., 1.0783e-04, 2.8304e-03,
         9.5034e-05],
        [2.9773e-04, 6.6036e-04, 1.1865e-03,  ..., 1.6132e-04, 1.7862e-04,
         4.8288e-04]])

模型输出的可视化:

4. 下面根据最终的输出，每一行概率最大元素对应的索引即模型的预测值：

for i in torch.argmax(probs, axis=1):
    print(i.item(),i2char[i.item()])

1316 萱
30 乐
869 济
573 惜

5. 计算随机模型预测结果的MNLL：

xs,ys

(tensor([   0,  993, 1539,  409]), tensor([ 993, 1539,  409,    0]))

nlls = torch.zeros(4)
for i in range(4):
    # i-th bigram:
    x = xs[i].item() # input character index
    y = ys[i].item() # label character index
    print('--------')
    print(f'example {i+1}: {i2char[x]}{i2char[y]} (indexes {x},{y})')
    print('input to the neural net:', x)
    print('label (next  character):', y)
    p = probs[i, y]
    print('probability assigned by net:', p.item())
    logp = torch.log(p)
    print('log likelihood:', logp.item())
    nll = -logp
    print('negative log likelihood:', nll.item())
    nlls[i] = nll

print('=========')
print('average negative log likelihood, i.e. loss =', nlls.mean().item())

--------
example 1: .王 (indexes 0,993)
input to the neural net: 0
label (next  character): 993
probability assigned by net: 0.00024021849094424397
log likelihood: -8.333961486816406
negative log likelihood: 8.333961486816406
--------
example 2: 王阿 (indexes 993,1539)
input to the neural net: 993
label (next  character): 1539
probability assigned by net: 0.0004108154389541596
log likelihood: -7.797366619110107
negative log likelihood: 7.797366619110107
--------
example 3: 阿宝 (indexes 1539,409)
input to the neural net: 1539
label (next  character): 409
probability assigned by net: 0.002926822518929839
log likelihood: -5.833837985992432
negative log likelihood: 5.833837985992432
--------
example 4: 宝. (indexes 409,0)
input to the neural net: 409
label (next  character): 0
probability assigned by net: 0.0002977268013637513
log likelihood: -8.11933422088623
negative log likelihood: 8.11933422088623
=========
average negative log likelihood, i.e. loss = 7.521124839782715

对比之前的测试结果，随机初始化的模型预测结果和随机生成的名字差不多。

梯度下降

通过MNLL(loss)对参数$W$求导计算梯度，根据梯度更新模型。

# 使用全量数据
xs, ys = [], []
for w in names:
    chs = ['.'] + list(w) + ['.']
    for ch1, ch2 in zip(chs, chs[1:]):
        ix1 = char2i[ch1]
        ix2 = char2i[ch2]
        xs.append(ix1)
        ys.append(ix2)
xs = torch.tensor(xs)
ys = torch.tensor(ys)
num = xs.nelement()
print('number of examples: ', num)

number of examples:  208508

# 随机初始化
g = torch.Generator().manual_seed(202304191424)
W = torch.randn((1651, 1651), generator=g, requires_grad=True)

# gradient descent
history = {'loss':[]}
for k in range(100):
    # forward pass
    xenc = F.one_hot(xs, num_classes=1651).float()  # one-hot encoding
    logits = xenc @ W                             # predict log-counts
    counts = logits.exp()                         # counts, equivalent to N
    probs = counts / counts.sum(1, keepdims=True) # probabilities for next character
    loss = -probs[torch.arange(num), ys].log().mean() + 0.01*(W**2).mean() # Add a regular
    #print(loss.item())
    history['loss'].append(loss.item())
    # backward pass
    W.grad = None                                 # set to zero the gradient
    loss.backward()
    # update
    W.data += -300 * W.grad

plt.figure(figsize=(8,3))
plt.plot(history['loss'], label='NN model')
plt.axhline(y=3.9716, c='red')
plt.grid()

经过100多轮的训练，模型的预测结果已经达到了真实数据的水平，下面是测试结果：

# finally, sample from the 'neural net' model
g = torch.Generator().manual_seed(202304191533)

for i in range(10):
    out = []
    ix = 0
    while True:
        xenc = F.one_hot(torch.tensor([ix]), num_classes=1651).float()
        logits = xenc @ W # predict log-counts
        counts = logits.exp() # counts, equivalent to N
        p = counts / counts.sum(1, keepdims=True) # probabilities for next character
        ix = torch.multinomial(p, num_samples=1, replacement=True, generator=g).item()
        out.append(i2char[ix])
        if ix == 0 or len(out) == 3:
            break
    print(''.join(out))

王骏杭
王桂普
王晓薪
王亦麒
王英.
王长萍
王丙能
王中.
王占郢
王光皓