武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（十）
已知函数 f ( x ) = ∫ 1 x 1 + t 4 d t 已知函数f(x)=\int_{1}^{x}\sqrt{1+t^4}\,{\rm d}t 已知函数f(x)=∫1x1+t4dt\ 则 ∫ 0 1 x 2 f ( x ) d x = 则 \int_{0}^{1}x^2f(x)\,{\rm d}x= 则∫01x2f(x)dx=
已知的f(x)是变上限积分，若是将积分符号去掉，算出f(x)这是比较难的。但是我们知道，变上限积分函数求导却是比较容易的。
所以我们利用这一特点，从要计算的积分入手，利用分部积分将除f(x)以外的部分全部凑到d后面，分部积分计算就会出现f(x)求导。
f ′ ( x ) = 1 + x 4 f'(x)=\sqrt{1+x^4} f′(x)=1+x4
∫
0
1
x
2
f
(
x
)
d
x
\int_{0}^{1}x^2f(x)\,{\rm d}x
∫01x2f(x)dx
=
1
3
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
3
=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}f(x)\,{\rm d}x^3
=31∫01f(x)dx3
=
1
3
f
(
x
)
x
3
∣
0
1
−
1
3
∫
0
1
x
3
d
f
(
x
)
=\frac{1}{3}f(x)x^3|_{0}^{1} -\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^3df(x)
=31f(x)x3∣01−31∫01x3df(x)
=
0
−
1
3
∫
0
1
x
3
f
′
(
x
)
d
x
=0-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^3f'(x)dx
=0−31∫01x3f′(x)dx
=
−
1
3
×
1
4
∫
0
1
f
′
(
x
)
d
(
x
4
)
=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\int_{0}^{1}f'(x)d(x^4)
=−31×41∫01f′(x)d(x4)
=
−
1
12
∫
0
1
x
4
+
1
d
(
x
4
+
1
)
=-\frac{1}{12}\int_{0}^{1}\sqrt{x^4+1}d(x^4+1)
=−121∫01x4+1d(x4+1)
=
−
1
12
×
2
3
(
x
4
+
1
)
3
2
∣
0
1
=-\frac{1}{12}\times\frac{2}{3}(x^4+1)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1}
=−121×32(x4+1)23∣01
=
−
1
18
(
2
2
−
1
)
=-\frac{1}{18}(2\sqrt{2}-1)
=−181(22−1)