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二分查找法

给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target  ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4     

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1        

提示:

  • 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
  • n 将在 [1, 10000]之间。
  • nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路:

因为这道题是有序数组且无重复元素,就可以考虑用二分查找法。

二分查找涉及的很多的边界条件,逻辑比较简单,但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right),到底是right = middle呢,还是要right = middle - 1呢?

大家写二分法经常写乱,主要是因为对区间的定义没有想清楚,区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中,保持不变量,就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作,这就是循环不变量规则。

写二分法,区间的定义一般为两种,左闭右闭即[left, right],或者左闭右开即[left, right)。

下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。

二分法第一种写法

第一种写法,我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里,也就是[left, right] (这个很重要非常重要)

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写,因为定义target在[left, right]区间,所以有如下两点:

  • while (left <= right) 要使用 <= ,因为left == right是有意义的,所以使用 <=
  • if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1,因为当前这个nums[middle]一定不是target,那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
// 版本一
class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里,[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right,区间[left, right]依然有效,所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};
  • 时间复杂度:O(log n)
  • 空间复杂度:O(1)

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里,也就是[left, right) ,那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点:

  • while (left < right),这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
  • if (nums[middle] > target) right 更新为 middle,因为当前nums[middle]不等于target,去左区间继续寻找,而寻找区间是左闭右开区间,所以right更新为middle,即:下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组:1,2,3,4,7,9,10中查找元素2

// 版本二
class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里,即:[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间,所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};
  • 时间复杂度:O(log n)
  • 空间复杂度:O(1)

http://www.kler.cn/a/2030.html

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