e^{ix} 的 conjugate value(复共轭)
e^{ix} 的 conjugate value
- 正文
- 实数的复共轭
- e i x e^{ix} eix 的复共轭
- 推导
正文
这里简单说明一下 e i x e^{ix} eix 的复共轭。
实数的复共轭
首先，我们知道，所谓复共轭是针对复数而言的。对于实数，我们知道，实数集被复数集包含。因此，实数也可以看作是一个复数，比如，对于实数
x
x
x，其复数形式为：
x
+
i
⋅
0
(1)
x+i\cdot0 \tag{1}
x+i⋅0(1)
复共轭的操作是对复数的虚数部分取相反数，实数部分保持不变。 因此，（1）中的复数的复共轭为：
x
−
i
⋅
0
(2)
x-i\cdot0 \tag{2}
x−i⋅0(2)
由于
x
+
i
⋅
0
=
x
−
i
⋅
0
=
x
(3)
x+i\cdot0=x-i\cdot0=x \tag{3}
x+i⋅0=x−i⋅0=x(3)
因此，实数的复共轭是它本身。
e i x e^{ix} eix 的复共轭
根据之前的说法，虚数 i i i 的复共轭为 − i -i −i。
x 为实数：
(
e
i
x
)
∗
=
e
−
i
x
(4)
\left ( e^{ix} \right ) ^*=e^{-ix} \tag{4}
(eix)∗=e−ix(4)
x 为虚数：
(
e
i
x
)
∗
=
e
−
i
x
∗
(5)
\left ( e^{ix} \right ) ^*=e^{-ix^*} \tag{5}
(eix)∗=e−ix∗(5)
推导
根据欧拉公式，我们给出（4）式详细地推导，
(
e
i
x
)
∗
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
∗
=
cos
x
−
i
sin
x
=
e
−
i
x
\begin{align} \left ( e^{ix} \right ) ^* & = \left ( \cos{x}+i\sin{x} \right )^* \nonumber \\ & = \cos{x}-i\sin{x} \nonumber \\ & = e^{-ix} \tag{6} \end{align}
(eix)∗=(cosx+isinx)∗=cosx−isinx=e−ix(6)
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