【图论】树链剖分

本篇博客参考：

• 【洛谷日报#17】树链剖分详解
• Oi Wiki 树链剖分

基本概念

首先，树链剖分是什么呢？

简单来说，就是把一棵树分成很多条链，然后利用数据结构（线段树、树状数组）维护链上的信息

下面是一些定义：

• 重子结点：父亲结点的所有儿子结点中子树结点数目最多的结点称为重子结点
• 轻子结点：父亲结点的所有儿子中除了重子结点的其他结点称为轻子结点

如果某个结点是叶子结点，那么它既没有重子结点也没有轻子结点

• 重边：父亲结点和重子结点连成的边
• 轻边：父亲结点和轻子结点连成的边
• 重链：多条重边连接成的链
• 轻链：多条轻边连接成的链

落单的点也当做重链，那整棵树就会被分成若干条重链，类似这样：（图源Oi Wiki）

下面是一些变量声明：

• fa[u] 结点 u 的父亲结点
• dep[u] 结点 u 的深度
• sz[u] 以结点 u 为根的子树的结点个数
• son[u] 结点 u 的重儿子
• top[u] 结点 u 所在链的顶端结点
• dfn[u] 结点 u 在 dfs 中的执行顺序，同时也是树链剖分后的新编号，可以理解为dfs序的映射
• id[u] dfn 标号 u 对应的结点编号，有 id[dfn[u]] == u

树链剖分的一些性质

• 重链开头的结点不一定是重子结点（因为每一个非叶子结点不管是重子结点还是轻子结点都有重边）
• 剖分时重链优先遍历，最后的 dfs 序中（也就是 dfn 数组），重链的 dfs 序时连续的，按 dfs 序排序后的序列就是剖分后的链
• 时间复杂度 $O(logn)$

代码实现

接下来需要实现树链剖分，也就是把每个结点划到一条链里，这通常是由两边 dfs 来实现的

第一遍 dfs

目的：处理 fa[u] dep[u] sz[u] son[u]

void dfs1(int u, int father, int depth) // u: 当前结点  fa: 父结点  depth: 当前深度
{
	fa[u] = father; // 更新当前结点父结点
	dep[u] = depth; // 更新当前结点深度
	sz[u] = 1; // 子树大小初始化为1
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i ++ )
	{
		int j = g[u][i]; // 子结点编号
		if (j == father) continue;
		dfs1(j, u, depth + 1);
		sz[u] += sz[j]; // 用子结点的sz更新父结点的sz
		if (sz[j] > sz[son[u]]) son[u] = j; // 更新重子结点
	}
}

第二遍 dfs

目的：处理 top[u] dfn[u] id[u]

void dfs2(int u, int tt) // u: 当前结点  tt: 重链顶端结点
{
	top[u] = tt; // 更新当前结点所在重链顶端
	dfn[u] = ++ cnt; // 更新dfs序
	id[cnt] = u; // 更新dfs序的映射
	if (!son[u]) return; // 叶子结点 直接退出
	// 优先遍历重子结点 目的是保证链上各个结点的dfs序连续
	// 当前结点的重子结点和当前结点在同一条链上 所以链的顶端都是tt
	dfs2(son[u], tt); 
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i ++ )
	{
		int j = g[u][i]; // 子结点编号
		if (j == son[u] || j == fa[u]) continue; // 遇到重子结点或者父结点就跳过
		dfs2(j, j); // j点位于轻链顶端 它的top必然是本身
	}
}

常见应用

两遍 dfs 之后，就已经完成了树链剖分的操作，但是由于本人举一反三能力缺失根本不知道应该怎么用，所以后面再放几个常见的使用情况

路径维护：求树上两点路径权值和

这里做的是一个类似LCA的操作，如果两个结点不在同一条链上，就让深度更大的结点往上跳（每次只能跳一个结点，避免两个结点一起跳导致擦肩而过）直到跳到同一条链上，因为同一条链上的点 dfs 序是相邻的，所以可以直接在这条链上用数据结构计算权值和（下面的代码用的是线段树）

int sum(int x, int y) // xy表示待求的两点路径权值和
{
	int ans = 0;
	int tx = top[x], ty = top[y]; // tx ty分别表示x和y所在重链的顶端结点
	while (tx != ty) // 让x和y跳到同一条链上
	{
		if (dep[x] >= dep[y]) // x比y更深 让x先跳
		{
			ans += query(dfn[tx], dfn[x]); // query是线段树的区间求和函数
			x = fa[tx], tx = top[x]; // 让x跳到原先链顶端的父结点 更新tx
		}
		else
		{	
			ans += query(dfn[ty], dfn[y]); // query是线段树的区间求和函数
			y = fa[ty], ty = top[y]; // 让y跳到原先链顶端的父结点 更新ty
		}
	}
	// 循环结束 x和y终于到了同一条链 但是二者不一定是同一个结点 所以还需要计算两点之间的贡献
	if (dfn[x] <= dfn[y]) ans += query(dfn[x], dfn[y]);
	else ans += query(dfn[y], dfn[x]);
	return ans;
}

路径维护：改变两点最短路径上的所有点的权值

和上面的求最短路径权值和很像，都是先让两个点跳到同一条链上再进行计算

void update(int x, int y, int c) // 把x与y的最短路上所有点的权值都加上c
{
	int tx = top[x], ty = top[y];
	while (tx != ty)
	{
		if (dep[tx] >= dep[ty])
		{
			modify(dfn[tx], dfn[x], c); // modify是线段树区间修改的函数
			x = fa[tx], tx = top[x]; // 让x跳到原先链顶端的父结点 更新tx
		}
		else
		{
			modify(dfn[ty], dfn[y], c); // modify是线段树区间修改的函数
			y = fa[ty], ty = top[y]; // 让y跳到原先链顶端的父结点 更新ty
		}
	}
	// 循环结束 x和y终于到了同一条链 但是二者不一定是同一个结点 所以还需要对两点之间的结点进行修改
	if (dfn[x] <= dfn[y]) modify(dfn[x], dfn[y], c);
	else modify(dfn[y], dfn[x], c);
}

求最近公共祖先

思路就是，如果两个点不在一条重链上，那就不断让深度大的结点往上跳，直到跳到同一条链上，那么深度较小的点就是LCA

int lca(int u, int v) // 求u和v的lca
{
	while (top[u] != top[v]) // 如果u和v不在同一条链上就一直让深度大的点往上跳
	{
		if (dep[top[u]] > dep[top[v]]) u = fa[top[u]];
		else v = fa[top[v]];
	}
	return dep[u] > dep[v] ? v : u; // 深度小的结点就是lca
}