【数据结构和算法初阶(C语言)】二叉树的顺序结构--堆的实现/堆排序/topk问题详解---二叉树学习日记②
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1.二叉树的顺序结构及实现
1.1 二叉树的顺序结构
2 堆的概念及结构
3 堆的实现
3.1堆的代码定义
3.2堆插入数据
3.3打印堆数据
3.4堆的数据的删除
3.5获取根部数据
3.6判断堆是否为空
3.7 堆的销毁
4.建堆以及堆排序
4.1 升序建大堆，降序建小堆
4.2堆排序
4.3 topk问题
5.结语
1.二叉树的顺序结构及实现
1.1 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
左孩子的下标 = 父亲下标*2+1
右孩子下标 = 父亲节点下标*2+2
父亲节点下标 = （子节点下标-1）/2
2 堆的概念及结构
堆是非线性结构，是完全二叉树
如果有一个值的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： = 且 >= ) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。 堆的性质： 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
通俗来说父节点小于等于子节点的完全二叉树就叫小根堆，或者小堆，根一定是整棵树最小的。
父节点值大于等于子节点的完全二叉树叫做大根堆。或者大堆，但是底层数组不一定降序。但是大堆的根是整棵树的最大值。
3 堆的实现
3.1堆的代码定义
底层是一个顺序表
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
//底层是一个顺序表，但是数据不是随便存储，逻辑结构是二叉树
HPDataType * a;
int size;
int capacity;
}HP;堆的初始化：
void HeapInit(HP* php)
{
assert(php);
HPDataType* tmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 2);//先为i堆空间申请两个节点
if (tmp == NULL)
{
perror("malloc");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity = 2;
php->size = 0;
}
3.2堆插入数据
实现关键
实现原理图：向上调整：
（以大堆的实现方式举例）
首先我们从有限个数据的层面来实现一下堆的实现，后面堆排序再来看对于一堆数据怎么建堆。
对于一组少量数据比如一个数组：
首先将数据一个一个插入到堆里面，由于数据有限可以使用这种数据插入的方式建立堆这种数据结构；
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
//尾插
assert(php);
//判断空间够不够
if (php->capacity == php->size)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(php->a) + sizeof(HPDataType) * 2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity += 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//调整数据，变成堆
AdjustUp(php->a, php->size-1);
}然后把这组数据调整成一个堆：
void Swap(HPDataType* child, HPDataType* parent)
{
HPDataType tmp = 0;
tmp = *child;
*child = *parent;
*parent = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a,int child)//向上调整
{
//最坏调整到根
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)//注意这个判断条件
{
if (a[child] > a[parent])
{
//交换
Swap(&a[child], &a[parent]);
//继续往上深入判断，将父亲的下标给孩子，父亲的父亲的下标给父亲
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;//跳出循环
}
}
}
3.3打印堆数据
为了看一下我们插入的效果我们来试一下插入一段数据
void HeapPrint(HP* php)
{
assert(php);
for (int i = 0; i < php->size; i++)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
} 
就建成了一个大堆。
3.4堆的数据的删除
堆这个数据结构有意义的一个点就是，大堆的根一定是这组数据中最大的值，小堆的根一定是这组数据中最小的值。所以如果我们能拿到这个根的数据，再删除就可以找到这堆数据中次小的数据了。那么删除根数据是这个结构比较有意义的。
想一个问题：根的删除能不能简单的数据覆盖？只是将后续的数据移动向前
答案是不能的，可以数据这样移动后续数据根本就不能成堆了。那么这里使用的方法是向下调整法
前提是左右子树是堆：
这里我们以小堆举例示范：
先删除
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
//不可挪动覆盖。可能就不是堆了
//先交换根和最后一个值，再删除，左右子树依旧是小堆
//向下调整的算法，左右子树都是小堆或者大堆。
assert(php->size > 0);
Swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
php->size--;//删除了数据
AdjustDown(php->a,php->size, 0);
}
在调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child<n)
{
if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//child+1可能越界访问
{
child++;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
//继续向下调整
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}调整是由于每次都是取两个子节点中的较小的值，所以先假设一个大，如果假设错了，就改变下标
if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//child+1可能越界访问
{
child++;
}对调整循环结束的判定所示孩子下标小于n
3.5获取根部数据
//获取根部数据
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
}
3.6判断堆是否为空
//判断堆是否为空函数
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}3.7 堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}那么如果现在我们每次拿到堆的元素在删除在获取，就可以得到一个有序的数据了：
4.建堆以及堆排序
上面我们已经掌握了堆这个数据结构的一些方法，最后通过插入数据建堆。删除1数据将数据排序。可是如果我有十亿个数据，想找出最大的十个数据，如果用堆得插入10亿次数据吗？那就失去了使用这个数据结构的意义，通常来说我们只用建立一个大堆模型，这个堆的前十个数据自然就是10亿个数据中的最大的一个。
4.1 升序建大堆，降序建小堆
4.2堆排序
4.3 topk问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。 对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，
基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
（明天补）
5.结语
以上就是本期的所有内容，知识含量蛮多，大家可以配合解释和原码运行理解。创作不易，大家如果觉得还可以的话，欢迎大家三连，有问题的地方欢迎大家指正，一起交流学习，一起成长，我是Nicn，正在c++方向前行的奋斗者，数据结构内容持续更新中，感谢大家的关注与喜欢。