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C++进阶之路---手撕“红黑树”

article 2024/11/5 18:53:17

顾得泉：个人主页

个人专栏：《Linux操作系统》 《C++从入门到精通》  《LeedCode刷题》

键盘敲烂，年薪百万！

一、红黑树的概念与性质

1.概念

       红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2.性质

       1.每个结点不是红色就是黑色
       2.根节点是黑色的
       3.如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
       4.对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
       5.每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

二、红黑树结构

       为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下：

三、红黑树的相关实现

1. 红黑树节点的定义

       想要实现一颗红黑树 ，首先我们得有树的节点，而树的节点中我们需要存：该节点的父节点、该节点的右孩子、该节点的左孩子、树节点的颜色以及数据类型；代码如下：

enum COLOUR
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	COLOUR _col;
	pair<K, V> _kv;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
	{}
};

       这里在节点的定义中，要将节点的默认颜色给成红色，这个需仔细品味。

2. 红黑树的定义

红黑树的定义如下：

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;

private:
	Node* _root = nullptr;
};

3. 红黑树的插入

       因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

       约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一

       cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

       解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二

       cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方式：

       p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
       p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
       p、g变色–p变黑，g变红

情况三

       cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

解决方式：

       p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
       p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
       则转换成了情况2

4.代码实现

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		// 找到插入位置
		Node* cur = _root, * parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;

			//     g
			//   p   u
			// c
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;

				// 情况1、uncle 存在且为红
				// 不需要旋转
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色	
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;

					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上更新处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					// 情况2.1
					// 单旋
					//     g
					//   p
					// c
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					// 情况3.1
					// 双旋
					//     g
					//   p
					//     c
					else
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			// grandfather->_right == parent
			//     g
			//   u   p
			//         c
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				// uncle 存在且为红
				// 不需要旋转
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;

					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// uncle 存在且为黑 或者 uncle 不存在
				else
				{
					// 情况2.2
					// 单旋
					//     g
					//   u   p 
					//         c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);

						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					// 情况3.2
					// 双旋
					//     g
					//   u   p 
					//     c
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		// 最后保证根节点是黑色的
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	// 判断中序遍历是否为有序序列
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
	// 判断是否平衡
	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;

		if (_root->_col == RED)
			return false;

		// 先统计一条路径的黑色节点，与其它路径的比较
		int refVal = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				refVal++;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		int blacknum = 0;
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}
	// 获取树的高度
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
	// 获取树的节点数
	size_t Size()
	{
		return _Size(_root);
	}	
	// 查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return NULL;
	}
private:
	// 获取树的节点个数
	size_t _Size(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;

		return _Size(root->_left)
			+ _Size(root->_right) + 1;
	}
	// 获取树的高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	
	// 检查是否符合红黑树规则
	bool Check(Node* root, int blacknum, int refVal)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blacknum != refVal)
			{
				cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "有连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}

		return Check(root->_left, blacknum, refVal)
			&& Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}
	
	// 按中序遍历打印树的节点
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_Inorder(root->_right);
	}

	// 左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right, * subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		// 如果 parent 是根节点，就直接更新 subR 为根节点，并将 subR 的_parent指向空
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}

		// 否则，先判断 parent 是 parentParent 的右还是左，再将parentParent的左或者右连接subR
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		subL->_right = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

四、红黑树与AVL树的比较     

       红黑树和AVL树都是自平衡二叉查找树，它们都能在插入和删除操作后通过旋转来维持树的平衡，保证查找、插入和删除操作的时间复杂度大致为( O(\log n) )。然而，它们在实现方式和具体性能上存在一些差异：

平衡性：

       红黑树通过确保从根节点到叶子的最长可能路径不会超过最短可能路径的两倍来保持平衡，即它允许一定程度的不平衡。

       AVL树则更加严格，它要求任何从根节点到叶子的路径的长度最多只相差1，因此它比红黑树更接近于完全平衡。

旋转操作：

       红黑树通常需要进行更多的旋转以维护其性质（每次插入或删除后都可能需要进行多达三次旋转），但它不需要维护额外的平衡因子信息。

       AVL树在每个节点上存储高度信息（或平衡因子），这使得它能够进行更精细的平衡操作，通常在一次插入或删除后只进行常数次旋转。

空间开销：

       红黑树不需要存储额外的高度或平衡因子信息，因此它的空间效率略高。

       AVL树的每个节点都需要存储高度信息，这增加了少量的内存开销。

应用场景：

       红黑树由于其简单性和对平衡的宽松要求，在实际应用中非常流行，特别是在实现标准库中的关联容器如map和set等。

       AVL树通常在需要频繁进行查找操作，而插入和删除操作相对较少的情况下使用，因为它的高度总是最小化的，这可以最大化查找效率。

结语：C++关于如何实现红黑树的分享到这里就结束了，希望本篇文章的分享会对大家的学习带来些许帮助，如果大家有什么问题，欢迎大家在评论区留言~~~ 


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