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算法进阶篇之实用数据结构

article 2024/11/14 21:01:23

一、并查集

1. HDU 1232: Game (Hangman)

2. POJ 1988: Catch the 'M'

3. POJ 1182: A Special Cake

4. POJ 1703: Calculation

二、优先队列

1. HDU 4006: Fractional Knapsack Problem

2. POJ 3253: Curves

3. POJ 2833: Hopscotch

4. POJ 2431: How Many Trees

一、并查集

1. HDU 1232: Game (Hangman)

问题概述： 玩家在有限的猜测次数内尝试猜出一个隐藏单词。每次猜测会给出当前已猜出的单词状态，并且玩家可以最多进行一定次数的错误猜测。

解题思路：

输入处理：读取隐藏单词和猜测序列。
状态初始化：
- 使用字符数组来跟踪当前已猜出的字母状态。
- 维护一个失败次数计数器。
猜测处理：
- 遍历每个猜测字母，更新单词状态并检查是否达到失败次数上限。
结果判断：
- 如果所有字母都被猜中，玩家获胜。
- 如果失败次数超过上限，玩家失败。

Python 示例代码：

def hangman_game(secret_word, guesses, max_attempts):
    guessed_letters = set()
    incorrect_guesses = 0
    word_set = set(secret_word)
    current_state = ['_'] * len(secret_word)

    for guess in guesses:
        if guess in word_set:
            guessed_letters.add(guess)
            current_state = [ch if ch in guessed_letters else '_' for ch in secret_word]
        else:
            incorrect_guesses += 1
        
        if set(current_state) == word_set:
            return "You win."
        
        if incorrect_guesses >= max_attempts:
            return "You lose."
    
    return "You lose." if incorrect_guesses >= max_attempts else "You win."

# Example usage
t = int(input())
for _ in range(t):
    max_attempts = int(input())
    guesses = [input().strip() for _ in range(max_attempts)]
    secret_word = input().strip()
    print(hangman_game(secret_word, guesses, max_attempts))

2. POJ 1988: Catch the 'M'

问题概述： 在一个棋盘上放置最大数量的 'M'，满足一定的约束条件。

解题思路：

这个问题可以建模为最大流问题或最大匹配问题。棋盘被转换为一个流网络，在网络中寻找最大流。

Python 示例代码：

from collections import defaultdict, deque

def max_bipartite_matching(graph, left_nodes, right_nodes):
    match = {}
    def bfs():
        dist = {u: float('inf') for u in left_nodes}
        queue = deque()
        for u in left_nodes:
            if u not in match:
                dist[u] = 0
                queue.append(u)
        found_augmenting_path = False
        while queue:
            u = queue.popleft()
            for v in graph[u]:
                if v not in match:
                    found_augmenting_path = True
                elif dist.get(match[v], float('inf')) == float('inf'):
                    dist[match[v]] = dist[u] + 1
                    queue.append(match[v])
        return found_augmenting_path

    def dfs(u):
        for v in graph[u]:
            if v not in match or (dist[match[v]] == dist[u] + 1 and dfs(match[v])):
                match[v] = u
                return True
        dist[u] = float('inf')
        return False

    matching_size = 0
    while bfs():
        for u in left_nodes:
            if u not in match:
                if dfs(u):
                    matching_size += 1
    return matching_size

3. POJ 1182: A Special Cake

问题概述： 将一个蛋糕切割成特定形状或大小的块，以满足特定条件。

解题思路：

通常涉及几何计算或特殊的切割规则。你可以将其建模为几何问题或使用动态规划进行解决，具体取决于要求。

Python 示例代码：

def special_cake(cuts):
    # Example solution; details depend on the specific problem constraints
    # Use geometric calculations or dynamic programming
    return len(cuts)  # Placeholder for the actual calculation

# Example usage
cuts = [int(x) for x in input().split()]
print(special_cake(cuts))

4. POJ 1703: Calculation

问题概述： 计算给定数学表达式的值。表达式可能包含加、减、乘、除操作符。

解题思路：

解析表达式：使用逆波兰表示法（后缀表达式）来评估表达式。
实现算法：
- 将表达式转换为逆波兰表示法。
- 使用栈来评估逆波兰表达式。

Python 示例代码：

def evaluate_expression(expression):
    def apply_operation(op, a, b):
        if op == '+':
            return a + b
        elif op == '-':
            return a - b
        elif op == '*':
            return a * b
        elif op == '/':
            return a // b

    def precedence(op):
        if op in ('+', '-'):
            return 1
        if op in ('*', '/'):
            return 2
        return 0

    def infix_to_postfix(expression):
        output = []
        ops = []
        for char in expression:
            if char.isdigit():
                output.append(int(char))
            elif char in ('+', '-', '*', '/'):
                while (ops and precedence(ops[-1]) >= precedence(char)):
                    output.append(ops.pop())
                ops.append(char)
        while ops:
            output.append(ops.pop())
        return output

    def evaluate_postfix(postfix):
        stack = []
        for token in postfix:
            if isinstance(token, int):
                stack.append(token)
            else:
                b = stack.pop()
                a = stack.pop()
                stack.append(apply_operation(token, a, b))
        return stack[0]

    postfix_expr = infix_to_postfix(expression)
    return evaluate_postfix(postfix_expr)

# Example usage
expression = input().strip()
print(evaluate_expression(expression))

二、优先队列

1. HDU 4006: Fractional Knapsack Problem

问题概述： 这是一个经典的分数背包问题。给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包有一个容量。目标是选择物品，以最大化背包的总价值，允许将物品分割成任意小的部分。

解题思路：

计算价值密度：每个物品的价值密度是其价值与重量的比值。
排序：根据价值密度从高到低对物品进行排序。
选择物品：从价值密度最高的物品开始，尽可能多地装入背包。如果当前物品不能完全放入背包，则将其部分放入。
累计价值：更新背包的总价值和剩余容量。

Python 示例代码：

def fractional_knapsack(weights, values, capacity):
    items = list(zip(weights, values))
    items.sort(key=lambda x: x[1] / x[0], reverse=True)
    
    total_value = 0.0
    for weight, value in items:
        if capacity == 0:
            break
        take_weight = min(weight, capacity)
        total_value += take_weight * (value / weight)
        capacity -= take_weight
    
    return total_value

# Example usage
n, capacity = map(int, input().split())
weights = []
values = []
for _ in range(n):
    weight, value = map(int, input().split())
    weights.append(weight)
    values.append(value)

print(fractional_knapsack(weights, values, capacity))

2. POJ 3253: Curves

问题概述： 给定一些曲线段，每条曲线段由两个点确定。任务是找到最短的路径，使得路径经过每条曲线段恰好一次，类似于最小生成树问题中的最小连接问题。

解题思路：

建图：将每条曲线段建成图的边。
计算最短路径：使用 Kruskal 算法或 Prim 算法来构建最小生成树。
输出结果：最小生成树的边权和即为解决方案。

Python 示例代码：

import heapq

def min_spanning_tree(n, edges):
    adj = [[] for _ in range(n)]
    for u, v, w in edges:
        adj[u].append((w, v))
        adj[v].append((w, u))
    
    total_weight = 0
    visited = [False] * n
    min_heap = [(0, 0)]  # Start with node 0
    while min_heap:
        weight, u = heapq.heappop(min_heap)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        total_weight += weight
        for w, v in adj[u]:
            if not visited[v]:
                heapq.heappush(min_heap, (w, v))
    
    return total_weight

# Example usage
n, m = map(int, input().split())
edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

print(min_spanning_tree(n, edges))

3. POJ 2833: Hopscotch

问题概述： 在一个矩阵中，每个单元格包含一个整数。任务是从矩阵的左上角到右下角找到一条路径，使得路径上的数字之和最大化，只能向下或向右移动。

解题思路：

动态规划：定义 dp[i][j] 为从 (0, 0) 到 (i, j) 的最大和。
状态转移：dp[i][j] 可以从 dp[i-1][j] 或 dp[i][j-1] 转移过来。
初始化：dp[0][0] 初始化为矩阵的起始值。
结果：dp[n-1][m-1] 是目标结果。

Python 示例代码：

def hopscotch(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if i > 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j] + matrix[i][j])
            if j > 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-1] + matrix[i][j])
    
    return dp[n-1][m-1]

# Example usage
n, m = map(int, input().split())
matrix = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]

print(hopscotch(matrix))

4. POJ 2431: How Many Trees

问题概述： 给定一个无向图，任务是计算该图中可能的树的数量。树是一个无环的连通图，问题可以通过计算图的不同生成树来解决。

解题思路：

计算生成树数量：使用 Kirchoff 的矩阵树定理。
构造拉普拉斯矩阵：从图的邻接矩阵构造拉普拉斯矩阵。
计算行列式：计算拉普拉斯矩阵的任意子矩阵的行列式作为树的数量。

Python 示例代码：

import numpy as np

def count_trees(n, edges):
    laplacian = np.zeros((n, n))
    for u, v in edges:
        laplacian[u][u] += 1
        laplacian[v][v] += 1
        laplacian[u][v] -= 1
        laplacian[v][u] -= 1
    
    # Remove last row and column
    minor = laplacian[:-1, :-1]
    
    # Calculate the determinant
    return int(round(np.linalg.det(minor)))

# Example usage
n, m = map(int, input().split())
edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

print(count_trees(n, edges))

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http://www.kler.cn/a/283864.html