数学基础 -- 线性代数之酉矩阵
酉矩阵（Unitary Matrix）
酉矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，特别在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。以下是酉矩阵的定义、性质以及使用和计算的例子。
1. 定义
酉矩阵是一个复矩阵 U U U ，满足以下条件：
U † U = U U † = I U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = I U†U=UU†=I
其中：
- U † U^{\dagger} U† 是矩阵 U U U 的共轭转置矩阵，即 U U U 的转置矩阵再取元素的共轭。
- I I I 是单位矩阵。
换句话说，矩阵 U U U 的逆矩阵等于它的共轭转置矩阵： U − 1 = U † U^{-1} = U^{\dagger} U−1=U†。
2. 性质
- 保持内积：酉矩阵保持向量的内积不变，即对于任意向量 v \mathbf{v} v 和 w \mathbf{w} w，有 ⟨ U v , U w ⟩ = ⟨ v , w ⟩ \langle U\mathbf{v}, U\mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle ⟨Uv,Uw⟩=⟨v,w⟩。
- 规范性：酉矩阵的列向量和行向量都是单位向量，并且相互正交。这意味着每列向量的模为1，且不同列向量的内积为0。
- 特征值：酉矩阵的特征值的模长为1，即如果 λ \lambda λ 是 U U U 的特征值，那么 ∣ λ ∣ = 1 |\lambda| = 1 ∣λ∣=1。
- 稳定性：酉矩阵的模不变性在物理学中非常重要，特别是在量子力学中，它表示量子态的演化是稳定的、不改变量子态的整体性质。
3. 使用例子：量子计算中的酉矩阵
在量子计算中，酉矩阵常用于表示量子比特的状态演化。例如，一个量子比特的状态可以表示为向量 ψ = ( α β ) \mathbf{\psi} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} ψ=(αβ)，其中 α \alpha α 和 β \beta β 是复数，满足 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 ∣α∣2+∣β∣2=1。
假设我们有一个量子门操作 U U U ，它是一个酉矩阵。比如，帕里矩阵（Hadamard gate）是一个常用的量子门：
H = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} H=21(111−1)
应用这个量子门 H H H 到量子比特状态 ψ \mathbf{\psi} ψ 上，会得到新的量子状态：
ψ ′ = H ψ = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) ( α β ) = 1 2 ( α + β α − β ) \mathbf{\psi'} = H\mathbf{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \alpha + \beta \\ \alpha - \beta \end{pmatrix} ψ′=Hψ=21(111−1)(αβ)=21(α+βα−β)
新的量子状态 ψ ′ \mathbf{\psi'} ψ′ 是通过酉矩阵 H H H 作用得到的，并且这个操作是保范的，即新状态的模仍然为1。
4. 计算例子：验证矩阵是否为酉矩阵
假设我们有以下矩阵 U U U：
U = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U=21 11111−11−111−1−11−1−11
我们要验证 U U U 是否是一个酉矩阵。
第一步：计算矩阵 U U U 的共轭转置矩阵 U † U^{\dagger} U†
U † = U T = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U^{\dagger} = U^{T} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U†=UT=21 11111−11−111−1−11−1−11
（因为矩阵 U U U 的元素都是实数，所以共轭转置矩阵就是转置矩阵）
第二步：计算 U † U U^{\dagger}U U†U
U † U = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U^{\dagger}U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U†U=21 11111−11−111−1−11−1−11 21 11111−11−111−1−11−1−11
展开运算结果为：
U † U = 1 4 ( 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = I U^{\dagger}U = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I U†U=41 4000040000400004 = 1000010000100001 =I
因为 U † U = I U^{\dagger}U = I U†U=I，所以 U U U 是一个酉矩阵。