矩阵性质简介
矩阵
一个
n
×
m
n\times m
n×m矩阵
M
M
M是由
n
n
n行
m
m
m列数字组成的数组，
M
r
c
M_{rc}
Mrc表示矩阵的第
r
r
r行
c
c
c列的元素
方阵
如果一个矩阵的行列相等，该矩阵称为方阵
对角矩阵
如果一个方阵只有主对角元素不等于零，该矩阵称为对角矩阵，主对角元素即 M r c ， r = c M_{rc}，r=c Mrc，r=c的元素，注意：
- 对角矩阵是方阵
- 对角矩阵只有主对角元素不等于零
矩阵转置
一个 n × m n\times m n×m矩阵 M M M的转置为 m × n m\times n m×n矩阵，记为 M T M^T MT，就是把行列进行了调换， M i j T = M j i M^T_{ij} = M_{ji} MijT=Mji
单位矩阵
如果对角矩阵的所有主对角元素都等于1，该矩阵为单位矩阵，单位矩阵一般用 I I I表示
矩阵乘法
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下
M
N
≠
N
M
MN\neq NM
MN=NM
矩阵相乘转置
( M N ) T = N T M T (MN)^T = N^TM^T (MN)T=NTMT
矩阵的逆
对任意 n × n n\times n n×n矩阵 M M M，如果存在一个矩阵 M − 1 M^{-1} M−1，使 M M − 1 = M − 1 M = I MM^{-1}=M^{-1}M=I MM−1=M−1M=I，则称矩阵 M M M可逆， 矩阵 M − 1 M^{-1} M−1称为矩阵 M M M的逆矩阵
奇异矩阵
没有逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵
矩阵可逆性
- 包含0行或者0列的矩阵不可逆。
- 当且仅当 M T M^T MT矩阵可逆，矩阵 M M M可逆
- 如果两个矩阵 M M M和 N N N都可逆，那么 M N MN MN可逆，并且 ( M N ) − 1 = N − 1 M − 1 (MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1} (MN)−1=N−1M−1
- 当且仅当 n × n n\times n n×n矩阵 M M M的列向量形成的向量集合线性无关时，矩阵可逆。所以一般情况下我们使用的3D笛卡尔坐标系进行的线性变换矩阵都可逆
3D变换使用的矩阵
对于一个 3 × 3 3\times 3 3×3矩阵，如果每列向量都满足 e i ⋅ e j = 0 e_i\cdot e_j = 0 ei⋅ej=0，则矩阵称为正交矩阵，如果每个列向量的单位向量，则称矩阵为标准正交矩阵
标准正交矩阵表示纯旋转
标准正交矩阵的逆矩阵等于转置
4 × 4 4\times 4 4×4矩阵可表示任意三维变换，包括
- 三维平移
- 三维旋转
- 三维缩放
- 三维切变
这种矩阵称为变换矩阵
仿射矩阵
仿射矩阵是一个 4 × 4 4\times 4 4×4变换矩阵，它能维持直线在变换前后的平行性以及相对的距离比，但是不一定维持直线在变换前后的绝对长度及角度
由平移、旋转、缩放、切变 (shear )所组合而成的变换都是仿射矩阵
所有仿射矩阵都有逆矩阵