一阶微分方程的解的存在唯一性定理
本篇笔记的内容来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
利普希茨(Lipschitz)条件
考虑导数已解出的一阶微分方程
d y d x = f ( x , y ) (1) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)\tag{1} dxdy=f(x,y)(1)
其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 是矩形域 R R R 上的连续函数
如果存在常数 L > 0 L>0 L>0 ，使得不等式
∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ∣ ⩽ L ∣ y 1 − y 2 ∣ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant L|y_1-y_2| ∣f(x,y1)−f(x,y2)∣⩽L∣y1−y2∣
变量 y y y 的局部变化率受到常数 L L L 的限制
对于所有 ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) ∈ R (x,y_1),(x,y_2)\in R (x,y1),(x,y2)∈R 都成立
则称函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在 R R R 上关于 y y y 满足利普希茨条件， L L L 称为利普希茨常数
解的存在唯一性定理
条件
f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在矩形域 R R R 上连续且关于 y y y 满足利普希茨条件
有初值条件 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0
结论
存在唯一的解 y = φ ( x 0 ) y=\varphi(x_0) y=φ(x0)
定义于 ∣ x − x 0 ∣ ⩽ h |x-x_0|\leqslant h ∣x−x0∣⩽h 上
定义域上连续
且满足初值条件
其中
R : ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∣ y − y 0 ∣ ⩽ b h = min ( a , b M ) M = max ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ \begin{align*} R&:|x-x_0|\leqslant a,|y-y_0|\leqslant b\\ h&=\min\bigg(a,\frac{b}{M}\bigg)\\ M&=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|\\ \end{align*} RhM:∣x−x0∣⩽a,∣y−y0∣⩽b=min(a,Mb)=(x,y)∈Rmax∣f(x,y)∣
a , b a,b a,b 是矩形域的大小参数， M M M 是函数最大值， h h h 的含义见下文
证明的大致思路
只对 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 进行讨论， x 0 − h ⩽ x ⩽ x 0 x_0-h\leqslant x\leqslant x_0 x0−h⩽x⩽x0 的证明完全一样
-
证明求微分方程初值问题的解等价于求积分方程的连续解（见下文命题一）
-
用皮卡(Picard)的逐步逼近法求解积分方程（见下文命题二三四）
-
证明唯一性（见下文命题五）
命题一（等价证明）
设 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是方程 ( 1 ) (1) (1) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上，满足初值条件
φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0
的解，则 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是积分方程
y = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , y ) d x (2) y=y_0+\int^x_{x_0}f(x,y)\mathrm{d}x\tag{2} y=y0+∫x0xf(x,y)dx(2)
的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上的连续解，反之亦然
这两方程可以通过微分积分互相转换
条件推结论
因为 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是方程 ( 1 ) (1) (1) 的解，故有
d φ ( x ) d x = f ( x , φ ( x ) ) \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x}=f(x,\varphi(x)) dxdφ(x)=f(x,φ(x))
两边从 x 0 x_0 x0 到 x x x 取定积分，得到
φ ( x ) − φ ( x 0 ) = ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)-\varphi(x_0)=\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)−φ(x0)=∫x0xf(x,φ(x))dx
把初值条件 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0 带入上式，得
φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)=y0+∫x0xf(x,φ(x))dx
所以 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是 ( 2 ) (2) (2) 定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上的连续解
结论推条件
因为 y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 是 方程 ( 2 ) (2) (2) 的连续解，则有
φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(x,\varphi(x))\mathrm{d}x φ(x)=y0+∫x0xf(x,φ(x))dx
对上式求导得 d φ ( x ) d x = f ( x , φ ( x ) ) \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x}=f(x,\varphi(x)) dxdφ(x)=f(x,φ(x)) ，代入 x = x 0 x=x_0 x=x0 得 φ ( x 0 ) = y 0 \varphi(x_0)=y_0 φ(x0)=y0
命题二（构造逐步逼近函数序列）
构造的皮卡逐步逼近序列如下
{ φ 0 ( x ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ n − 1 ( t ) ) d t \begin{cases} \varphi_0(x)=y_0\\ \varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm{d}t \end{cases} {φ0(x)=y0φn(x)=y0+∫x0xf(t,φn−1(t))dt
对于所有的 n n n ，函数 φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x) 在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上有定义、连续且满足不等式
∣ φ n ( x ) − y 0 ∣ ⩽ b |\varphi_n(x)-y_0|\leqslant b ∣φn(x)−y0∣⩽b
这个不等式保证了 ( x , φ n ( x ) ) ∈ R (x,\varphi_n(x))\in R (x,φn(x))∈R
证明（数学归纳法）
当 n = 1 n=1 n=1 时， φ 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , y 0 ) d t \varphi_1(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,y_0)\mathrm{d}t φ1(x)=y0+∫x0xf(t,y0)dt
显然 φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x) 在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上有定义且连续
∣ φ 1 ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( t , y 0 ) d t ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , y 0 ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ⩽ M h ⩽ b \begin{align*} |\varphi_1(x)-y_0|&=\bigg|\int^x_{x_0}f(t,y_0)\mathrm{d}t\bigg|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,y_0)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant M(x-x_0)\\ &\leqslant Mh\\ &\leqslant b \end{align*} ∣φ1(x)−y0∣= ∫x0xf(t,y0)dt ⩽∫x0x∣f(t,y0)∣dt⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b
点 ( t , y 0 ) (t,y_0) (t,y0) 在矩形域内，所以 M ⩾ ∣ f ( t , y 0 ) ∣ M\geqslant|f(t,y_0)| M⩾∣f(t,y0)∣
假设当 n = k n=k n=k 时成立，证明 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时也成立
φ k + 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ k ( t ) ) d t \varphi_{k+1}(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{k}(t))\mathrm{d}t φk+1(x)=y0+∫x0xf(t,φk(t))dt
由于 φ k \varphi_k φk 在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 有定义且连续
所以 φ k + 1 ( x ) \varphi_{k+1}(x) φk+1(x) 也在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 有定义且连续
∣ φ k + 1 ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( t , φ k ( t ) ) d t ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ k ( t ) ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ⩽ M h ⩽ b \begin{align*} |\varphi_{k+1}(x)-y_0|&=\bigg|\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{k}(t))\mathrm{d}t\bigg|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_{k}(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant M(x-x_0)\\ &\leqslant Mh\\ &\leqslant b \end{align*} ∣φk+1(x)−y0∣= ∫x0xf(t,φk(t))dt ⩽∫x0x∣f(t,φk(t))∣dt⩽M(x−x0)⩽Mh⩽b
因为 ∣ φ k ( x ) − y 0 ∣ ⩽ b |\varphi_{k}(x)-y_0|\leqslant b ∣φk(x)−y0∣⩽b 所以 ( t , φ k ( x ) ) (t,\varphi_{k}(x)) (t,φk(x)) 也在矩形域内
即当 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时也成立，命题二证毕
命题三（函数序列一致收敛）
函数序列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上是一致收敛的
证明
分解为两项
φ n ( x ) = φ 0 ( x ) + ∑ k = 1 n [ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ] (3) \varphi_n(x)=\varphi_0(x)+ \sum^n_{k=1}\Big[\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)\Big]\tag{3} φn(x)=φ0(x)+k=1∑n[φk(x)−φk−1(x)](3)
前一项为常数 y 0 y_0 y0
只需要证明后一项一致收敛（先数学归纳法，再魏氏判别法）
当 n = 2 n=2 n=2 时（从第一项开始也行，不过书上是这么写的）
∣ φ 2 ( x ) − φ 1 ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ 1 ( t ) ) − f ( t , φ 0 ( t ) ) ∣ d t \begin{align*} &\ \ \ \ \ |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|\\ &\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_1(t)) -f(t,\varphi_0(t))|\mathrm{d}t \end{align*} ∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽∫x0x∣f(t,φ1(t))−f(t,φ0(t))∣dt
这时候用上利普希茨条件了
⩽ ∫ x 0 x L ∣ φ 1 ( t ) − φ 0 ( t ) ∣ d t \begin{align*} &\leqslant\int^x_{x_0}L|\varphi_1(t)-\varphi_0(t)|\mathrm{d}t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{align*} ⩽∫x0xL∣φ1(t)−φ0(t)∣dt
又因为（其实就是 n = 1 n=1 n=1 时的情况）
∣ φ 1 ( x ) − φ 0 ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , y 0 ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) = M L 0 1 ! ( x − x 0 ) 1 |\varphi_1(x)-\varphi_0(x)| \leqslant\int^x_{x_0}|f(t,y_0)|\mathrm{d}t \leqslant M(x-x_0) =\frac{ML^0}{1!}(x-x_0)^1 ∣φ1(x)−φ0(x)∣⩽∫x0x∣f(t,y0)∣dt⩽M(x−x0)=1!ML0(x−x0)1
所以
∣ φ 2 ( x ) − φ 1 ( x ) ∣ ⩽ M L ∫ x 0 x t − x 0 d t = M L 1 2 ! ( x − x 0 ) 2 |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|\leqslant ML\int^x_{x_0}t-x_0\mathrm{d}t =\frac{ML^1}{2!}(x-x_0)^2 ∣φ2(x)−φ1(x)∣⩽ML∫x0xt−x0dt=2!ML1(x−x0)2
设当 n = k n=k n=k 时
∣ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L k − 1 k ! ( x − x 0 ) k |\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{k-1}}{k!}(x-x_0)^k ∣φk(x)−φk−1(x)∣⩽k!MLk−1(x−x0)k
那么
∣ φ k + 1 ( x ) − φ k ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ k ( t ) ) − f ( t , φ k − 1 ( t ) ) ∣ d t \begin{align*} |\varphi_{k+1}(x)-\varphi_{k}(x)|& \leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\varphi_k(t)) -f(t,\varphi_{k-1}(t))|\mathrm{d}t \end{align*} ∣φk+1(x)−φk(x)∣⩽∫x0x∣f(t,φk(t))−f(t,φk−1(t))∣dt
再由利普希茨条件
⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ∣ d t ⩽ M L k k ! ∫ x 0 x ( t − x 0 ) k d t = M L k ( k + 1 ) ! ( x − x 0 ) k + 1 \begin{align*} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant\frac{ML^k}{k!}\int^x_{x_0}(t-x_0)^k\mathrm{d}t\\ &=\frac{ML^{k}}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1} \end{align*} ⩽L∫x0x∣φk(x)−φk−1(x)∣dt⩽k!MLk∫x0x(t−x0)kdt=(k+1)!MLk(x−x0)k+1
于是，由数学归纳法，对于所有正整数 n n n ，有
∣ φ n ( x ) − φ n − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L n − 1 n ! ( x − x 0 ) n |\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{n-1}}{n!}(x-x_0)^n ∣φn(x)−φn−1(x)∣⩽n!MLn−1(x−x0)n
又 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h ，所以
∣ φ n ( x ) − φ n − 1 ( x ) ∣ ⩽ M L n − 1 n ! h n |\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|\leqslant\frac{ML^{n-1}}{n!}h^n ∣φn(x)−φn−1(x)∣⩽n!MLn−1hn
又因为 ∑ k = 1 ∞ M L n − 1 n ! h n \sum^\infty_{k=1}\frac{ML^{n-1}}{n!}h^n ∑k=1∞n!MLn−1hn 是正项收敛级数
根据魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法，级数
∑ k = 1 ∞ [ φ k ( x ) − φ k − 1 ( x ) ] \sum^\infty_{k=1}\Big[\varphi_k(x)-\varphi_{k-1}(x)\Big] k=1∑∞[φk(x)−φk−1(x)]
也一致收敛，所以 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 也一致收敛
命题四（证明序列极限是方程的解）
设
lim n → ∞ φ n ( x ) = φ ( x ) \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(x)=\varphi(x) n→∞limφn(x)=φ(x)
则 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 是积分方程 ( 2 ) (2) (2) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上的连续解
证明
由利普希茨条件
∣ f ( x , φ n ( x ) ) − f ( x , φ ( x ) ) ∣ ⩽ L ∣ φ n ( x ) − φ ( x ) ∣ |f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi(x))| \leqslant L|\varphi_n(x)-\varphi(x)| ∣f(x,φn(x))−f(x,φ(x))∣⩽L∣φn(x)−φ(x)∣
又因为 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 一致收敛于 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)
所以 f ( x , φ n ( x ) ) f(x,\varphi_n(x)) f(x,φn(x)) 一致收敛于 f ( x , φ ( x ) ) f(x,\varphi(x)) f(x,φ(x))
回到构造函数序列的式子
φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ n − 1 ( t ) ) d t \varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm{d}t φn(x)=y0+∫x0xf(t,φn−1(t))dt
对两边取极限，得
φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ ( t ) ) d t \varphi(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi(t))\mathrm{d}t φ(x)=y0+∫x0xf(t,φ(t))dt
命题四证毕
命题五（唯一性证明）
设 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 是积分方程 ( 2 ) (2) (2) 的定义于 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 的另一个连续解，则 φ ( x ) = ψ ( x ) \varphi(x)=\psi(x) φ(x)=ψ(x)
证明（跟命题三类似）
证明 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 也是序列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 的极限
φ ( x 0 ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ ( t ) ) d t , ( n ⩾ 1 ) ψ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , ψ ( t ) ) d t \begin{align*} \varphi(x_0)&=y_0\\ \varphi_n(x)&=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi(t))\mathrm{d}t,(n\geqslant1)\\ \psi(x)&=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\psi(t))\mathrm{d}t \end{align*} φ(x0)φn(x)ψ(x)=y0=y0+∫x0xf(t,φ(t))dt,(n⩾1)=y0+∫x0xf(t,ψ(t))dt
k = 1 k=1 k=1 时
∣ φ 0 ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ M ( x − x 0 ) ∣ φ 1 ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ 0 ( t ) ) − f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ 0 ( t ) − ψ ( t ) ∣ d t ⩽ M L ∫ x 0 x t − x 0 d t = M L 1 2 ! ( x − x 0 ) 2 \begin{align*} |\varphi_0(x)-\psi(x)|&\leqslant\int^x_{x_0}|f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t \leqslant M(x-x_0)\\ |\varphi_1(x)-\psi(x)|&\leqslant \int^x_{x_0}|f(t,\varphi_0(t))-f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_0(t)-\psi(t)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant ML\int^x_{x_0}t-x_0\mathrm{d}t=\frac{ML^1}{2!}(x-x_0)^2 \end{align*} ∣φ0(x)−ψ(x)∣∣φ1(x)−ψ(x)∣⩽∫x0x∣f(t,ψ(t))∣dt⩽M(x−x0)⩽∫x0x∣f(t,φ0(t))−f(t,ψ(t))∣dt⩽L∫x0x∣φ0(t)−ψ(t)∣dt⩽ML∫x0xt−x0dt=2!ML1(x−x0)2
k = n k=n k=n 时
∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ ∫ x 0 x ∣ f ( t , φ n − 1 ( t ) ) − f ( t , ψ ( t ) ) ∣ d t ⩽ L ∫ x 0 x ∣ φ n − 1 ( t ) − ψ ( t ) ∣ d t ⩽ M L n n ! ∫ x 0 x ( t − x 0 ) n d t = M L n ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \begin{align*} |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|&\leqslant \int^x_{x_0}|f(t,\varphi_{n-1}(t))-f(t,\psi(t))|\mathrm{d}t\\ &\leqslant L\int^x_{x_0}|\varphi_{n-1}(t)-\psi(t)|\mathrm{d}t\\ &\leqslant \frac{ML^n}{n!}\int^x_{x_0}(t-x_0)^n\mathrm{d}t=\frac{ML^n}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{align*} ∣φn(x)−ψ(x)∣⩽∫x0x∣f(t,φn−1(t))−f(t,ψ(t))∣dt⩽L∫x0x∣φn−1(t)−ψ(t)∣dt⩽n!MLn∫x0x(t−x0)ndt=(n+1)!MLn(x−x0)n+1
由数学归纳法，对所有正整数 n n n ，有
∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ M L n ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{ML^n}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ∣φn(x)−ψ(x)∣⩽(n+1)!MLn(x−x0)n+1
在 x 0 ⩽ x ⩽ x 0 + h x_0\leqslant x\leqslant x_0+h x0⩽x⩽x0+h 上有
∣ φ n ( x ) − ψ ( x ) ∣ ⩽ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 |\varphi_{n}(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1} ∣φn(x)−ψ(x)∣⩽(n+1)!MLnhn+1
因为
lim n → ∞ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}=0 n→∞lim(n+1)!MLnhn+1=0
所以 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} 一致收敛于 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) ，根据极限的唯一性，得
φ ( x ) = ψ ( x ) \varphi(x)=\psi(x) φ(x)=ψ(x)