转载【FIR 线性相位系统 最小相位系统 滤波器延迟】
2.1 线性相位
2.1.1 FIR滤波器和线性相位之间有什么关系?
大多数的FIR滤波器是线性相位滤波器. 当需要设计线性相位滤波器时, 通常使用FIR滤波器.
2.1.2 什么是线性相位滤波器?
线性相位是指滤波器的相位响应是频率的线性函数（在+/-180度）。因此滤波器的延时后，所有的频率相位相同。因而滤波器不会产生相位和延迟扭曲。在某些领域，比如数字解调器，没有相位或者延迟扭曲是FIR滤波器相对于其他IIR和模拟滤波器的一个关键优点
2.1.3 线性滤波器的条件是什么?
FIR滤波器经常被设计成为线性相位的，当然不是必须要这么做。如果滤波器的系数是关于中心系数对称的，也就是说第一个系数和最后一个系数相同，第二个系数和倒数第二个相同，那么FIR滤波器就是线性的。有奇数个系数的FIR滤波器，中心单独的系数没有对应的。
2.1.4 什么是线性相位FIR滤波器的延时?
非常简单的公式: 给定FIR滤波器有N个抽头,那么延时是(N - 1) / (2 * Fs), 这里Fs是采样频率. 比如, 21抽头的线性相位滤波器运行在1kHz, 那么延时就是 ( 21 − 1 ) / ( 2 ∗ 1 k H z ) = 10 (21 - 1) / (2 * 1 kHz)=10 (21−1)/(2∗1kHz)=10微秒.
2.1.4 除了线性相位,还可以选择什么?
当然是非线性的了。实际上，最流行的选择是最小相位滤波器。最小相位滤波器，也叫最小延时滤波器，比线性相位滤波器具有更少的延时，当两者的幅度响应相同时以非线性相位特性。
低通滤波器在它的冲击响应中心有最大的系数。而最小相位滤波器的最大系数在开始部分。
2.2 频率响应
2.2.1 什么是FIR滤波器的Z变换r?
对于N抽头的滤波器, 系数为h(k), 那么输出由:
y ( n ) = h ( 0 ) x ( n ) + h ( 1 ) x ( n − 1 ) + h ( 2 ) x ( n − 2 ) + . . . h ( N − 1 ) x ( n − N − 1 ) y(n)=h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n-2) + ... h(N-1)x(n-N-1) y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n−1)+h(2)x(n−2)+...h(N−1)x(n−N−1)
滤波器的z变换就是:
H ( z ) = h ( 0 ) z − 0 + h ( 1 ) z − 1 + h ( 2 ) z − 2 + . . . h ( N − 1 ) z − ( N − 1 ) H(z)=h(0)z^{-0} + h(1)z^{-1} + h(2)z^{-2} + ... h(N-1)z^{-(N-1)} H(z)=h(0)z−0+h(1)z−1+h(2)z−2+...h(N−1)z−(N−1),
2.2.2 FIR滤波器的频率响应公式是什么r?
H(z)中的变量z为连续的复数变量，可以描述为 z = r ⋅ e j w z=r·e^{jw} z=r⋅ejw，这里r是幅度，w是z的角度。如果令 r = 1 r=1 r=1， H ( z ) H(z) H(z)就变成了滤波器频率响应 H ( j w ) H(jw) H(jw)。这也就意味着替代z为 e j w e^{jw} ejw，得到了滤波器频率响应 H ( w ) H(w) H(w)。
H
(
j
w
)
=
h
(
0
)
e
j
w
+
h
(
1
)
e
j
1
w
+
h
(
2
)
e
j
2
w
+
.
.
.
+
h
(
N
−
1
)
e
j
(
N
−
1
)
w
H(jw)=h(0)e^{jw}+h(1)e^{j1w}+h(2)e^{j2w}+...+h(N-1)e^{j(N-1)w}
H(jw)=h(0)ejw+h(1)ej1w+h(2)ej2w+...+h(N−1)ej(N−1)w
或者使用欧拉公式,
e
−
a
=
cos
(
a
)
−
j
sin
(
a
)
e^{-a} = \cos(a)-j\sin(a)
e−a=cos(a)−jsin(a), 我们可以把H(jw)写成矩形表示:
H ( j w ) = h ( 0 ) [ c o s ( 0 w ) − j s i n ( 0 w ) ] + h ( 1 ) [ c o s ( 1 w ) − j s i n ( 1 w ) ] + . . . h ( N − 1 ) [ c o s ( ( N − 1 ) w ) − j s i n ( ( N − 1 ) w ) ] H(jw)=h(0)[cos(0w) - jsin(0w)] + h(1)[cos(1w) - jsin(1w)] + ... h(N-1)[cos((N-1)w) - jsin((N-1)w)] H(jw)=h(0)[cos(0w)−jsin(0w)]+h(1)[cos(1w)−jsin(1w)]+...h(N−1)[cos((N−1)w)−jsin((N−1)w)]
2.2.3 能用离散傅立叶变换(DFT)来计算FIR的频率响应么?
可以。对于N抽头的FIR，可以得到N evenly-spaced points of the frequency response by doing a DFT on the filter coefficients.但是，为了得到任意频率的频率响应，需要使用上边的公式。
2.2.4 FIR滤波器的DC增益指的是什么?
DC(0 Hz)输入信号包含每个采样都为1.0。通过延时线后，输出是所有系数的和。因而，在DC处滤波器的增益就是所有系数之和。
2.2.5 如何调整FIR滤波器的增益?
简单地在系数上乘上因子.
2.3 数字性质
2.3.1 FIR滤波器是固有稳定的?
是的，因为没有反馈，任何有限的输入产生有限的输出。
2.3.2 什么使FIR滤波器的数字性质变好？
缺少反馈是关键。在计算机中实现FIR滤波器时，每个计算都产生数字错误。由于FIR滤波器没有反馈，因此不能够记住以前的错误。相反，IIR滤波器的反馈可能导致错误的积累。 .
这个实际的影响就是，可以用更少的bit去实现与IIR滤波器相同精度的滤波器。比如，FIR滤波器通常用16位来实现的话，IIR滤波器就通常需要32位，或者更多。
2.4 为什么通常在多采样率系统中采用FIR滤波器而不采用IIR滤波器?
因为只有一小部分的计算需要用减采样或者插值滤波器来实现。
由于FIR滤波器不使用反馈，因而只有那些实际需要使用的输出才需要计算。比如，在减采样的时候（N个输出中只有一个有效），那么其他的N-1输出就不会进行计算。类似的，对于插值滤波器（在采样点中插入0来提高采样率），你不必实际地用FIR滤波器乘以系数，求和得到，你只需要忽略和这些值有关的乘加（因为它们不会改变结果）。
相反，因为IIR滤波器使用反馈，每个输入都必须使用，每个输入必须计算，因为所有的输入和输出对滤波器的反馈都有影响。
2.5 有哪些特殊的FIR滤波器?
Aside from “regular” and “extra crispy” there are:
- 矩形 -矩形 FIR 滤波器是每个系数都是1.0的简单的滤波器。因而对于N个抽头的矩形滤波器，它的输出仅仅是过去N个采样之和。由于矩形FIR只能实现加法，因此当乘法器实现比较昂贵时，在硬件实现中会考虑。 * 希尔伯特变换（Hilbert Transformer） - 希尔伯特变换是把信号相移90度。它们经常被用在，给定实数部分，产生虚数部分。
- 差分（Differentiator） -差分器的幅度响应是频率的线性函数。现在已经不流行了，但是以前曾经在FM解调器上使用过。
- Lth-Band - 也叫做“Nyquist"滤波器，这些滤波器是在多速率应用中特殊的一类滤波器。主要的卖点是，每L个系数有一个为0，那么就将减少乘累加操作的实现（著名的半带滤波器就是这一种）。
- Raised-Cosine - 这是一种特殊类型的滤波器，有时会用在数字数据应用方面。（通带上的频率响应是被上移一个常数的cos形状）。
参考
https://www.cnblogs.com/keepthinking-go/p/13864429.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_a78208d301019nnx.html