python黄金分割数

1_/ 黄金分割数

黄金分割数 golden_ratio
黄金比例，又称黄金分割，是一个数学常数，一般以希腊字母$\varphi$表示。
代数式定义：

$\varphi =\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$

$\frac{1}{\varphi }=\varphi -1=\Phi$

∴ $1+\frac{b}{a}=1+\frac{1}{\varphi }=\varphi$

∴ $\varphi ==\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$ (负舍)

$\Phi \approx 0.618$

2_/ 贵金属分割

贵金属分割连分数：
$$n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{...}}}}$$
n=1 黄金分割$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
n=2 白银分割$1+\sqrt{2}$
n=3 青铜分割$\frac{3+\sqrt{1}3}{2}$

3_/ 计算分割数

计算 $\varphi$，$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

import decimal

# 设置精度
decimal.getcontext().prec = 110  # 适当增加精度以确保计算准确

# 计算黄金分割数
sqrt_5 = decimal.Decimal(5).sqrt()
phi = (decimal.Decimal(1) + sqrt_5) / decimal.Decimal(2)

# 输出结果，精确到小数点后100位
print(f"{phi:.100f}")
# 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911375

计算 Φ，$\Phi =\frac{1}{1+\Phi }$

fài = 1.0
for i in range(100):
    fài = 1 / (1 + fài)
print("{:.3f}".format(fài)) # 0.618
print("{:.4f}".format(fài)) # 0.6180
print("{:.5f}".format(fài)) # 0.61803
print("{:.7f}".format(fài)) # 0.6180340
"""
def golden_ratio(depth):
    fài = 1.0
    for i in range(depth):
        fài = 1 / (1 + fài)
    return fài
depth = 100 # 设置迭代深度
print(f"Golden ratio (approximated to depth {depth}): {golden_ratio(depth)}")
# Golden ratio (approximated to depth 100): 0.6180339887498948
"""

精确到小数点后百位

import decimal
decimal.getcontext().prec = 110  # 适当增加精度以确保计算准确
phi = decimal.Decimal(1)
for _ in range(100):
    phi = 1 / (1 + phi)
print(f"{phi:.100f}") # 输出结果，精确到小数点后100位
#0.6180339887498948482045868343656381177203096998094118264936291294152016354093729191617385189497190563

4_/ 画黄金螺旋

$r=a{e}^{b\theta }$
在黄金螺旋中，比例常数 b ≈ $\frac{\ln (\theta )}{90}$ ， $\theta$ 是黄金分割数（约为1.618）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 黄金分割数
phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2

# 定义参数
a = 0.1  # 可以调整螺旋的起始半径
n_points = 1000  # 点的数量
theta = np.linspace(0, 4 * np.pi, n_points)  # 角度

# 计算 r
r = a * np.exp(np.log(phi) * theta / (np.pi / 2))

# 转换到笛卡尔坐标
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y)
plt.title('Goldene Spirale')
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.show()