线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析

1.特征值和特征向量

1.1 特征值和特征向量的定义

A为n阶，α是n维非0列向量
Aα=λα，α叫A对应λ的特征向量，叫λ特征值

1.2 特征值和特征向量的求法

⭐️三种求法:

• 方法一:利用定义Aα=λα
• 方法二:｜λE-A｜=0,利用行列式和基础解系
• 方法三:利用相似，P^-1AP=B

方法一:
定义法，定义法常常用于A是抽象形式的矩阵，求解其特征值和特征向量的问题。

方法二:
理论基础:
$$\begin{gathered} 由定义A\alpha =\lambda \alpha ，\alpha \ne 0 \\ \Rightarrow \left(\lambda E-A\right)\alpha =0,\alpha \ne 0 \\ \Rightarrow \alpha 是\left(\lambda E-A\right)x=0的非0解 \end{gathered}$$

为什么先用行列式计算特征值，特征向量不能是零向量，所以是非零解，齐次线性方程是非零解，所以行列式=0，所以用行列式计算特征值，再用基础解系计算特征向量。

一.常规计算步骤
特征值的计算步骤:
第一步,计算行列式｜λE-A｜,因为存在非零解，秩必然是不满的，行列式=0，求出特征值。

第二步，通过求出的特征向量，代入回（λE-A）α=0这个齐次线性方程中，计算出特征向量即齐次线性方程的解向量。

二.通过已积累的结论，直接得出特征值
(1)上下三角矩阵，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right],特征值为{\lambda }_1=1，{\lambda }_2=3，{\lambda }_3=6$$

(2)秩1矩阵，特征值是它的迹，其余都是0
$$\left[\begin{array}{ccc}a& a& a\\ a& a& a\\ a& a& a\end{array}\right]特征值为{\lambda }_1=3a，{\lambda }_2=0，{\lambda }_3=0$$
(3)通过已知矩阵A的特征值和特征向量，直接得到关于A矩阵其他基本变形的特征值和特征向量

f(A)多项式与A相似

1.3 特征值特征向量的主要结论

1. 如a₁a₂是矩阵A关于特征值λ的特征向量，则k₁a₁+k₂a₂(非0时)仍是A关于λ的的特征向量。若a₁a₂是不同特征值的特征向量，则k₁a₁+k₂a₂不是A关于λ的的特征向量

$$\begin{gathered} \left|A\right|=\Pi {\lambda }_i,其中\Pi 是连乘 \\ \Sigma {\lambda }_i=\Sigma a_{ii}=t_r\left(A\right),矩阵的迹是特征值的和 \end{gathered}$$

3.不同特征值的特征向量线性无关
4.λ_i是属于A的k重特征值，属于λ_i的k重特征向量最多不超过k个。

2.相似

2.1 相似的定义

相似的定义：
A矩阵相似于B，A~B,意味着存在可逆矩阵P使P^-1AP=B

注意注意：A相似于B，这句话是有方向性的，规定是P^-1AP=B，而B=PAP^-1,A相似于B不能颠倒，没有P^-1BP=A这种说法

2.2 相似的性质

A~B,则有以下结论
(1)|A|=|B|
(2)r(A)=r(B)
(3)|λE-A|=|λE-B|,即λ_A=λ_B
(4)迹相同，特征值都相同,迹肯定相同
(5)A,B的各阶主子式之和分别相等

关于性质（5）的说明,各阶主子式就是选行和选列的时候，行下标和列下标是一样的，下面给出列子，给出三阶矩阵，求二阶主子式，二阶主子式仅适合用于0多的题
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]，二阶主子式，\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right]$$

(6)充要条件 A~B, A+kE~B+kE

2.3 相似的结论

A与B相似的进一步推导结论

矩阵A与B相似

• A^-1相似于B^-1
• A^*相似于B^*
• A^T相似于B^T
• 关于分块矩阵
  $$若A～C，B～D,则\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]～\left[\begin{array}{cc}C& O\\ O& D\end{array}\right]$$

3.相似对角化

A为n阶矩阵，存在n阶可逆矩阵P，若P^-1AP=Λ，则称A可相似对角化，记做A~Λ，称对角矩阵是A的相似标准型。

关于相似对角化的结论总结:

注意充要条件和充分条件

4.实对称矩阵

4.1 实对称矩阵的基本性质

关于实对称矩阵，有更良好的性质，直接就满足可以相似对角化，并且还可以用正交矩阵相似对角化

实对称矩阵A^T=A
1.实对称矩阵必与对角矩阵相似(可相似对角化）
2.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交
3.实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化
Q^-1AQ=Q^TAQ=Λ

因为QQ^T=E,.Q^-1=Q^T

4.2 施密特正交化

根据 实对称矩阵的基本性质，不同特征值的特征向量相互正交，所以我们应该使用施密特正交化将相同特征值下的特征向量正交化，最后特征向量都要单位化。

施密特正交化公式:

5.重难点题型总结

5.1 判断矩阵能否相似对角化

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.15

例题2:来源 李永乐线代辅导讲义 例5.18

5.2 已知两个矩阵相似，求某个矩阵中的未知参数

解题思路:常常利用两个矩阵相似的性质，若相似矩阵之间的迹相等，行列式相等，各阶主子式之和相等

5.3 相似时，求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵

利用相似的传递性

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.20

5.4 求正交矩阵Q，使Q^TAQ=Λ

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.27

5.5 给出条件矩阵A方=A，我们能分析出什么？

有些题目中，给出矩阵A²=A的时候，我们可以得到两方面信息，一方面是关于秩，一方面是关于特征值。

关于秩：
$$\begin{gathered} A^2=A\Rightarrow A^2-A=0\Rightarrow A\left(A-E\right)=0\Rightarrow r\left(A\right)+r\left(A-E\right)\le n \\ A-\left(A-E\right)=E\Rightarrow r\left(A\right)+r\left(B\right)\ge r\left(A+B\right)\Rightarrow r\left(A\right)+r\left(A-E\right)\ge r\left(E\right)=n \\ 综上所述，结论如下：r\left(A\right)+r\left(A-E\right)=n \end{gathered}$$

关于特征值：

5.6 已知A为三阶实对称矩阵，三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量，求另外两个特征向量

先不谈这个问题，明确该类问题大方向
首先矩阵一定得是实对称的，因为它的底层原理是实对称向量内积=0
1.假如已知三个特征值，但是它们都是单根，已知一个特征值的特征向量，是无法求出另外两个特征向量的。
2.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量，求另外两个特征向量，这是可以求出的。
3.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和重根特征值的对应的两个特征向量，求单根的特征向量，也是可以求出的。