[区间dp]添加括号

题目描述

有一个 $n$ 个元素的数组 $a$。不改变序列中每个元素在序列中的位置，把它们相加，并用括号记每次加法所得的和，称为中间和。现在要添上 $n-1$ 对括号，加法运算依括号顺序进行，得到 $n-1$ 个中间和，求出使中间和之和最小的添括号方法。

例如：给出序列是 $4,1,2,3$ 。

第一种添括号方法：
$((4+1)+(2+3))=((5)+(5))=(10)$。
有三个中间和是 $5,5,10$ ，它们之和为: $5+5+10=20$。

第二种添括号方法：
$(4+((1+2)+3))=(4+((3)+3))=(4+(6))=(10)$。
有三个中间和是 $3,6,10$ ，它们之和为 $3+6+10=19$ 。

输入格式

第一行输入一个整数 $n$，表示 $a$ 元素个数。
第二行输入 $n$ 个整数 $a_i$。

输出格式

第一行输出添加括号的方法。
第二行输出最终的中间和之和。
第三行输出 $n-1$ 个中间和，按照从里到外，从左到右的顺序输出。

样例

样例输入1：

4
4 1 2 3

样例输出1：

(4+((1+2)+3))
19
3 6 10

样例解释见上。

数据范围

$1\le n\le 20$
$1\le a_i\le 100$

题解

将 $+$ 看成合并左右两个元素，$()$ 限定合并顺序。

按照正常的 区间dp ，很容易计算出中间和之和。

那如何输出算式和每个中间和呢?

当把区间 $i,k$ 和 $k+1,j$ 合并成 $i,j$ 时，记录 $k-i$ 的值（合并位置 $d_{i,j}$）。
然后写一个 dfs，传两个参数 $l$ 和 $r$，表示 $l$ 到 $r$ 的区间。

• 如果 $l\ge r$，返回。
• 如果 $l<r$，将 $l$ 到 $r$ 的区间拆分为两个区间进行 dfs （$l$ 到 $l+d_{i,j}$，$l+d_{i,j}+1$ 到 $r$），并将 $l$ 的左括号数（$f{1}_l$）加 $1$，$r$ 的右括号数（$f{2}_r$）加 $1$。

接下来从 $1$ 到 $n$ 输出，先输出 $f{1}_i$ 个左括号，再输出 $a_i$，然后输出 $f{2}_i$ 个右括号。如果 $i\ne n$，还要输出 $+$。

这样就能轻松地输出算式了。

输出中间和也是同理，可用前缀和优化。

int f[40][40];//dp
int sum[40];//前缀和
int d[40][40];//从 i 到 j 合并的点
int f1[40], f2[40];//左括号数和右括号数
//算式
void dfs(int x, int y){
	if(x >= y){
		return;
	}
	dfs(x, x + d[x][y]);
	dfs(x + d[x][y] + 1, y);
	f1[x] ++;
	f2[y] ++;
}
//中间和
void dfs2(int x, int y){
	if(x >= y){
		return;
	}
	dfs2(x, x + d[x][y]);
	dfs2(x + d[x][y] + 1, y);
	printf("%d ", sum[y] - sum[x - 1]);
}
int main(){
	输入
	//初始化
	memset(f, 0x3f, sizeof(f)))；
	memset(d, 0, sizeof(d));
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		f[i][i] = 0;
	}
	//前缀和
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	}
	for(int k = 1; k < n; ++ k){
		for(int i = 1; i <= n - k; ++ i){
			int j = i + k;
			for(int u = i; u < j; ++ u){
				//更新 f[i][j]
				if(f[i][j] > f[i][u] + f[u + 1][j]){
					f[i][j] = f[i][u] + f[u + 1][j];
					d[i][j] = u - i;
				}
			}
			f[i][j] += sum[j] - sum[i - 1];
		}
	}
	//输出 
	dfs(1, n); 
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		while(f1[i]）{
			putchar('(');
			f1[i] --;
		}
		printf("%d", a[i]);
		while(f2[i]){
			putchar(')');
			f2[i] --;
		}
		if(i != n){
			putchar('+');
		}
	}
	printf("\n%d\n", f[1][n]);
	dfs2(1, n)；
	return 0;
}

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