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二叉树算法

article 2024/9/20 23:27:43

1. 几种二叉树的概念

1.1. 满二叉树

所有节点都长满了叶子。

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1.2. 完全二叉树

倒数第二层是满的，最后一层完全堆在左边。

1.3. 平衡二叉树（AVL树）

任意两个子树高度差不超过1的二叉树。

2. 表示树的底层结构

可以用数组或链表(有多个指针的链表)来表示树形结构。

2.1. 数组

使用数组的下标计算来确定某个节点的左右孩子和父。

  • 如果数组用下标0来存根节点，则数组下标是i的节点，它的左孩子下标是i*2+1，右孩子下标是i*2+2，父节点下标是(i-1)/2，当然根节点的父节点要除外，因为这样算下来它的父节点下标是负数了。
  • 如果数组用下标1来存根节点(下标0不用)，则数组下标是i的节点，它的左孩子下标是i*2，右孩子下标是i*2+1，父节点下标是i/2，当然根节点的父节点要除外，因为这样算下来它的父节点下标是0了。

本文统一用数组下标1来存根节点的方式讨论。

因为要用null占位，表示树的结构，所以数组来存储树形结构比较浪费空间。如果是完全二叉树，它是靠左紧凑的，我们可以不用null来占位，如下图所示。

2.2. 链表

用一个节点对象表示树形结构上的一个节点，该节点中包含3个指针来存储一个其与父、左右孩子的关系。

用链表来存储树形结构，就不需要通过下标计算父、左右孩子的位置了，直接取指针就可以了。

3. 树的遍历

先总结一下，详细解释见下文：非递归的方式遍历，深度用栈、广度用队列。

3.1. 深度优先遍历（DFS）

整个遍历过程是从根节点开始，先打到左边底，再慢慢回到根部，再打到右边底。

根据遍历任何一个子树的时候，先遍历当前节点还是后遍历当前节点，可以分为先序、中序、后序3种遍历方式。

可以看到，不管哪种方式，右孩子都在左孩子之后遍历。

一般来说，这3种遍历方式都有递归和非递归两种方式来实现。

3.1.1. 递归实现3种深度优先遍历

递归实现树的深度优先遍历，是很直观的。

// 先序遍历
dfsPre(Node node){
    visit(node);//先访问当前节点，再访问其左右子树
    dfsPre(node.left);
    dfsPre(node.right);
}
// 中序遍历
dfsMid(Node node){
    dfsMid(node.left);
    visit(node);//先访问其左子树，再访问当前节点，再访问其右子树
    dfsMid(node.right);
}
// 后序遍历
dfsPost(Node node){
    dfsPost(node.left);
    dfsPost(node.right);
    visit(node);//先访问其左右子树，再访问当前节点
}

3.1.2. 非递归实现3种深度优先遍历

非递归方式需要使用栈结构来实现（递归方式本质是用了计算机程序自己的调用栈）。

非递归方式没有递归方式那么直观，可以说是用了3种思路分别实现的。它们3者的共同点有：

  1. 都要用栈
  2. 节点出栈时打印，出栈顺序代表打印顺序
  3. 先序和后序就是颠倒一下（用栈来颠倒，详见下文），代码大部分一样
3.1.2.1. 非递归的先序遍历

每次循环出栈一个节点。

上来先把头结点丢到栈里，然后开始循环出栈。

一次循环里面先放右节点再放左节点。

void pollVisitPre(Node node) {
    if (node == null) return;
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(node);
    while (!stack.isEmpty()) {
        Node c = stack.pop();
        System.out.print(c.val + ",");
        if (c.right != null) stack.push(c.right);//因为后打印right，所以先放right
        if (c.left != null) stack.push(c.left);
    }
}
3.1.2.2. 非递归的中序遍历

先把左树全部入栈，然后一个个地弹出来打印，然后入栈右树。

可以把一棵二叉树想象成一个个的左子树的形式：

代码如下

void pollVisitMid(Node node) {
    if (node == null) return;
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    while (node != null || !stack.isEmpty()) {
        while (node != null) { // 这个while可以看做上图中的斜着的一列左子树
            stack.push(node);
            node = node.left;
        }
        node = stack.pop();
        System.out.print(node.val + ",");
        node = node.right;
    }
}

其中比较难以理解的是两个while的判断条件里都有 node != null 的条件。

3.1.2.3. 非递归的后序遍历

上面非递归的先序遍历中，左右孩子是右先进，所以左先打。如果改成左先进，就是右先打，然后在用一个栈把它的结果倒来打印，就是后续遍历了，思路如下图所示：

代码如下：

void pollVisitPost(Node node){
    if(node == null) return;
    Stack<Integer> savePrintResult = new Stack<>();//存储先序遍历时的出栈结果
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(node);
    while(!stack.isEmpty()){
        node = stack.pop();
        savePrintResult.push(node.val);//存储先序遍历时的出栈结果，待会儿打印
        if(node.left!=null) stack.push(node.left);//先左进，所以会先打印右
        if(node.right!=null) stack.push(node.right);
    }
    while(!savePrintResult.isEmpty()){//反向打印出来
        System.out.print(savePrintResult.pop()+",");
    }
}

3.2. 广度优先遍历（BFS）

整个遍历过程是从根节点开始，一层一层地遍历。

3.2.1. 非递归的广度优先遍历

非递归的广度优先遍历比较简单明了，所以先介绍。

这种方式使用了队列，也是节点出来的时候打印，同时把它的左右孩子放到队列里，出来一个打印一个、放一对（左右孩子），直到队列为空。

void bfs(Node node) {
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(node);
    while (!queue.isEmpty()) {
        Node n = queue.poll();
        System.out.print(n.val + ",");
        if (n.left != null) queue.add(n.left);
        if (n.right != null) queue.add(n.right);
    }
}

3.2.2. 递归的广度优先遍历

思路是用一个List<List<>>的容器存储每一层的遍历结果，然后最后再打印出来。代码如下：

void recurseBfs(Node node){
    List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
    doRecurseBfs(lists, 0, node);
    for(List<Integer> list:lists){
        for(Integer i:list){
            System.out.print(i+",");
        }
    }
}

void doRecurseBfs(List<List<Integer>> lists, int i, Node node) {
    if(node==null) return;
    if(lists.size()==i){
        lists.add(new ArrayList<>());
    }
    List<Integer> list = lists.get(i);
    list.add(node.val);
    doRecurseBfs(lists, i+1, node.left);
    doRecurseBfs(lists, i+1, node.right);
}

本文前面介绍的用数组存储的方式，其实是一种“广度优先”遍历后存下来的节点。如果不用广度优先，则位置i的左右孩子和父就不一定是2*i、2*i+1、i/2的关系了。

4. 树的序列化和反序列化

序列化就是把对象保存成字符串或二进制，反序列化就是把保存的字符串或二进制再转成内存里的对象。

4.1. 树的序列化

树的序列化需要记录下所有null节点（不然树的造型可能会变）如下图所示

如果是完全二叉树，可以不记录null节点。

序列化的过程跟前面遍历过程一致，只是把前面打印和返回空节点的地方，改成用字符串存起来（返回的空节点用"null"存储）。

StringBuilder serializeNode(Node node) {
    if (node == null) {
        return new StringBuilder("null");
    } else {
        return new StringBuilder(node.val + "");
    }
}

下面给一个先序遍历方式序列化的示例代码(递归、非递归，先/中/后序都有对应的序列化代码)：

StringBuilder serializeTreePre(Node node) {
    if (node == null) {
        return serializeNode(null);
    }
    return serializeNode(node).append(",")
            .append(serializeTreePre(node.left)).append(",")
            .append(serializeTreePre(node.right));
}

再给一个广度优先的序列化的示例代码(这里用非递归方式，递归方式也可以实现)：

StringBuilder serializeTreeBfs(Node node) {
    if (node == null) {
        return serializeNode(null);
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(node);//广度优先的架子
    while (!queue.isEmpty()) {//广度优先的架子
        node = queue.poll();//广度优先的架子
        sb.append(serializeNode(node)).append(",");
        if (node != null) queue.add(node.left);//这里注意，空孩子也要丢到队列里输出
        if (node != null) queue.add(node.right);
    }
    return sb;
}

4.2. 树的反序列化

树的反序列化要与序列化方式对应起来用，比如用先序遍历序列化的，就要用先序遍历反序列化、用广度优先序列化的，就要用广度优先反序列化来还原。

树的反序列化都要用到队列，从队列里一个个地poll出来，构造树的节点。

4.2.1. 深度优先反序列化

直接上代码，先序遍历的反序列化（中序、后序类似）

Node deserializeTreePre(String txt) {
    return doDeserializeTreePre(new LinkedList<>(Arrays.asList(txt.split(","))));
}

Node doDeserializeTreePre(Queue<String> queue) {
    if (queue.isEmpty()) return null;
    String val = queue.poll();
    if (val.equals("null")) {
        return null;
    }
    
    Node n = new Node(Integer.parseInt(val));//先序，先处理当前节点
    Node left = doDeserializeTreePre(queue);//再处理左、右孩子
    Node right = doDeserializeTreePre(queue);

    // 把3个节点连起来
    n.left = left;
    n.right = right;
    if (left != null) left.parent = n;
    if (right != null) right.parent = n;
    return n;
}

4.2.2. 广度优先反序列化

广度优先反序列化，也是广度优先遍历的过程，所以需要一个广度优先遍历的队列，加上反序列化用于存储字符串的那个队列，就有两个队列了。

代码如下，跟广度优先遍历过程的架子是一样的：

Node deserializeTreeBfs(String txt) {
    Queue<String> strQueue = new LinkedList<>(Arrays.asList(txt.split(",")));
    if(strQueue.isEmpty()||strQueue.peek().equals("null")) return null;
    Queue<Node> resultQueue = new LinkedList<>(); //广度优先遍历的队列
    Node head = new Node(Integer.parseInt(strQueue.poll()));
    resultQueue.add(head); //与广度优先遍历架子一样
    while(!resultQueue.isEmpty()){//广度优先的架子
        Node n = resultQueue.poll();//广度优先的架子
        String leftStr = strQueue.poll();
        String rightStr = strQueue.poll();
        if(!"null".equals(leftStr)){
            Node left = new Node(Integer.parseInt(leftStr));
            n.left = left;
            left.parent = n;
            resultQueue.add(left);
        }
        if(!"null".equals(rightStr)){
            Node right = new Node(Integer.parseInt(rightStr));
            n.right = right;
            right.parent = n;
            resultQueue.add(right);
        }
    }
    return head;
}


http://www.kler.cn/news/306844.html

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