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Day26_0.1基础学习MATLAB学习小技巧总结（26）——数据插值

article 2024/9/21 12:09:17

利用空闲时间把碎片化的MATLAB知识重新系统的学习一遍，为了在这个过程中加深印象，也为了能够有所足迹，我会把自己的学习总结发在专栏中，以便学习交流。

参考书目：

1、《MATLAB基础教程 (第三版) (薛山)》

2、《MATLAB R2020a完全自学一本通》

之前的章节都是基础的数据运算用法，对于功课来说更加重要的内容是建模、绘图、观察数据趋势，接下来我会结合自己的使用经验，来为大家分享绘图、建模使用的小技巧。

在本章中的代码，会以资源的形式发在我的博客里供大家免费下载学习。

关于插值法和拟合法的对比应用，我发在《MATLAB的应用》专栏中，如果有感兴趣的朋友，可以看一下。

数值分析中插值法和拟合法的对比_对数插值法-CSDN博客https://blog.csdn.net/qq_47248729/article/details/141933209?spm=1001.2014.3001.5502

数据插值

插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的数学方法。它的基本思想是利用已知数据点之间的关系，构造一个函数来预测其他点的值。

### 数学定义

在一维情况下，给定一组数据点 (x0, y0), (x1, y1), ...., (xn, yn)，插值法的目标是找到一个函f(x)，使得对于每个已知点 xi，都有 f(xi) = yi。

线性插值

线性插值是最简单的插值方法之一。对于两个相邻的已知点 (xi, yi) 和 (x(i+1), y(i+1)，线性插值的公式为：

其中，x 是我们想要插值的点，f(x) 是在该点的估计值。

拉格朗日插值

拉格朗日插值法提供了一种多项式插值的方式。对于 n+1 个已知点，拉格朗日插值多项式 L(x) 定义为：

其中，li(x) 是拉格朗日基多项式，定义为：

一维插值示意图

以下是一个一维插值的示意图，展示了已知数据点和插值结果。

% 定义已知数据点  
x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; % x坐标  
y = [2.5, 3.5, 5.0, 7.0, 6.5, 5.5, 4.0]; % y坐标  

% 定义插值点  
xi = linspace(1, 7, 100); % 在1到7之间生成100个插值点  

% 进行线性插值  
yi = interp1(x, y, xi, 'linear');  

% 绘制结果  
figure;  
plot(x, y, 'o', 'MarkerFaceColor', 'r'); % 原始数据点  
hold on;  
plot(xi, yi, '-b'); % 插值结果  
title('一维线性插值');  
xlabel('x');  
ylabel('y');  
legend('已知数据点', '插值结果');  
grid on;

插值的目的是利用已知的观测点为物理量构建一个简单且连续的解析模型，以便推测该物理量在非观测点的特性。插值方法包括多项式插值、埃尔米特插值、分段插值与样条插值、三角函数插值和辛克插值等。这些方法在数据分析、信号处理和图像处理等多个领域具有重要应用。

接下来就对一维插值开始展开介绍

1 一维插值

当被插值函数y=f(x)为一元函数时，为一维插值。MATLAB使用interp1函数来实现一维插值。interp1函数的调用格式如下:

vq=interp1（x,v,xq）使用线性插值返回一维函数在特定查询点的插入值。向量×包含样本点，v包含对应
值v(x)。向量xq包含查询点的坐标。
如果您有多个在同一点坐标采样的数据集，则可以将v以数组的形式进行传递。数组v的每一列都包含一组不同的一维样本值。

vq=interp1(x,v,xq,method）指定备选插值方
法：'linear'、、'nearest'、'next'、'previous'、'pchip'、'cubic'、'v5cubic'、‘makima′或'spline'。默认方法为'linear'。

vq=interp1（x,v,xq，method，extrapolation）用于指定外插策略，来计算落在x域范围外的点。如果希望使用method算法进行外插，可将extrapolation设置为‘extrap'。也可以指定一个标量值，这种情况下，interp1将为所有落在x域范围外的点返回该标量值。

vq=interp1（v，xq）返回插入的值，并假定一个样本点坐标默认集。默认点是从1到n的数字序列，其中n
取决于v的形状：
(1) 当v是向量时，默认点是1:length（v)。
(2) 当v是数组时，默认点是1:size（v,1)。

1.1 分段线性插值（linear）

分段线性插值的算法是在每个小区间[x_i，x_i+1]上采用简单的线性插值。在区间[x_i，x_i+1]上上的子插值多项式为：

在整个区间[xi,xn] 上的插值函数为：

其中li(x) 的定义如下：

例：利用interp1函数对y=sin（x）进行分段线性插值。

x=0:2*pi;
y=sin(x);
xx=0:0.5:2*pi;
yy=interp1(x,y,xx);
plot(x,y,'s',xx,yy)

1.2 一维快速傅里叶插值

维快速傅里叶插值利用函数`interpft`将输入数据转换到频域，然后通过更多点的傅里叶逆变换将其转换回时域，从而实现数据的增采样。函数`interpft`的调用格式如下：

y=interpft（x,n）在x中内插函数值的傅里叶变换以生成n个等间距的点。interpft对第一个大小不等于1的维度进行运算。

y=interpft(X,n,dim）沿维度dim运算。例如，如果x是矩阵，interpft（X,n,2）将在x行上进行运
算。

例：利用一维快速傅里叶插值实现数据增采样。

x = 0:1.2:10;
y = sin(x);
n = 2*length(x);
yi = interpft(y,n);
xi = 0:0.6:10.4;
hold on;
plot(x,y,'ro');
plot(xi,yi,'b.-');
title('一维快速傅里叶插值');
legend('原始数据','插值结果');

1.3 快速fourier算法

当数据点呈现周期分布时，用上面的几种插值算法效果都不是很好，这时可以使用interpft函数进行插值，此函数使用快速foumier算法做一维插值，其调用格式如下：

y = interpft(x,n)

注意：它返回周期在重采样的n个等距点的插值，n必须大于x的长度

例：采用interpft函数对sin函数插值。

x = 0:1.2:10;
y = sin(x);
z = interpft(y,15);
xx = linspace(0,2*pi,15);
plot(x,y,'-o',xx,z,':o')

2 二维插值

当被插值函数y=f（x）为二元函数时，为二维插值：MATLAB使用interp2函数来实现二维插值。interp2函数的调用格式如下：

Vq=interp2（X,Y,V,Xq,Yq）：使用线性插值返回双变量函数在特定查询点的插入值。结果始终穿过函数的原始采样。X和Y包含样本点的坐标。V包含各样本点处的对应函数值。Xq和Yq包含查询点的坐标。

Vq=interp2(V,Xq,Yq）: 假定一个默认的样本点网格。默认网格点覆盖矩形区域X=1:n和Y=1:m，其中[m,n]=size(V)。如果您希望节省内存且不在意点之间的绝对距离，则可使用此语法。

Vq=interp2(V）: 将每个维度上样本值之间的间隔分割一次，形成细化网格，并基于该网格上返回插入值。

Vq=interp2（V,k）: 将每个维度上样本值之间的间隔反复分割k次，形成细化网格，并基于该网格上返回插
入值。这将在样本值之间生成2k-1个插值点。

Vq=interp2（_-,method）: 指定备选插值方法：‘linear'、‘nearest'、'cubic'、‘makima'或
'spline'。默认方法为‘linear'。

Vq=interp2（---，method,extrapval）: 还指定标量值extrapval，此参数会为处于样本点域范围外的所有查询点赋予该标量值。
如果为样本点域范围外的查询省略extrapval参数，则基于method参数，interp2返回下列值之一：
(1) 对于'spline'和‘makima'方法，返回外插值
(2) 对于其他内插方法，返回NaN值

例:

[X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);
Z = peaks(X,Y);
[XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI);
mesh(X,Y,Z),hold,mesh(XI,YI,ZI+15)
hold off
axis ([-3 3 -3 3 -5 20])