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堆的向下调整算法和TOPK问题

article 2024/9/21 18:51:51

目录

1.什么是堆？

1.1 向下调整建堆的时间复杂度计算

1.2 堆的结构体设计

2.堆的功能实现：

2.1 堆的插入：

2.2 堆的删除：

2.3 堆排序：

2.4 向下调整建堆：

2.5 TOPK问题：

2.6 向上调整算法：

2.7 向下调整算法：

2.8 堆的初始化/返回堆顶元素/返回堆内有效元素个数/堆的判空/堆的销毁

1.什么是堆？

首先

堆是一种完全二叉树，它一定满足所有的根结点都大于或小于它的左右子树

如果是大堆，那么堆顶的数就是堆中最大的数

如果是小堆，那么堆顶的数就是堆中最小的数

堆常常用来解决排序和TOPK问题

对于完全二叉树而已，若将结点从根结点开始，从0开始编号，那么

父节点 = (i-1)/2 (i-1)/2>=0

左孩子结点=(i*2)+1 (i*2)+1<n

右孩子结点=(i*2)+2 (i*2)+2<n

 

1.1 向下调整建堆的时间复杂度计算

首先需要知道二叉树的几个性质：

  1. 若规定二叉树的根结点的层数为1，那么二叉树的第i层有2^(i-1)棵结点
  2. 若规定二叉树的根结点的层数为1，那么一颗二叉树最多有2^(h)-1
  3. 对任意一颗二叉树，如果度为0为n0，度为2为n2，那么n0 = N2+1
  4. 若规定二叉树的根节点的层数为1， 具有n个结点的二叉树，其高度h为log(n+1)

根据性质去推算

从最后一个父节点开始，需要向下调整的次数：

T(h) = 2^0*(h-1) + 2^1*(h-2) + 2^2*(h-3) +.......+ 2^(h-3)*2 + 2^(h-2) *1

2*T(h) = 2^1*(h-1) + 2^2*(h-2) + 2^3*(h-3) +.......+ 2^(h-2)*2  +2^(h-1) *1

错位相减：2^1 + 2^2 + 2^3 ...... 2^(h-2) + 2^(h-1) - h +1

T(h) = 2^0+2^1 + 2^2 + 2^3 ...... 2^(h-2) + 2^(h-1) - h

T(h) = 2^h - 1 -h = N - Log(n+1)

采用大O的渐进表示法，建堆的时间复杂度就是O(N)

1.2 堆的结构体设计

#pragma once

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HeapNodeDataType;
typedef struct Heap
{
	HeapNodeDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;
//堆向上调整
void AdjustUp(HeapNodeDataType* array, int n);
//堆向下调整
void AdjustDown(HeapNodeDataType* array, int n, int size);
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);
//堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php);
//堆的插入一个结点
void HeapPush(Heap* php, HeapNodeDataType data);
//堆的删除一个结点
void HeapPop(Heap* php);
//堆的出堆顶数据
HeapNodeDataType HeapTop(Heap* php);
//返回堆内有效个数
int HeapSize(Heap* php);
//交换函数
void Swap(HeapNodeDataType* a, HeapNodeDataType* b);
//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* php);

2.堆的功能实现：

2.1 堆的插入：

在尾部插入，向上调整，跟父节点比较，若满足条件就交换它们

void HeapPush(Heap* php, HeapNodeDataType data)
{
	assert(php);
	if (php->_capacity == php->_size)
	{
		int newCapacity = php->_capacity == 0 ? 4 : php->_capacity * 2;
		HeapNodeDataType* newArray = (HeapNodeDataType*)realloc(php->_a, sizeof(HeapNodeDataType) * newCapacity);
		php->_a = newArray;
		php->_capacity = newCapacity;
	}
	php->_a[php->_size] = data;
	int child = php->_size;
	php->_size++;
	AdjustUp(php->_a, child);
}

2.2 堆的删除：

将堆顶元素跟堆尾元素交换，然后从堆顶开始向下调整

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->_a);
	Swap(&php->_a[0], &php->_a[php->_size - 1]);
	php->_size--;
	AdjustDown(php->_a, 0, php->_size);
}

2.3 堆排序：

利用向下调整算法建堆，然后将堆顶数据放到堆尾，堆内有效元素-1，再向下调整

void HeapSort(int* a, int n)
{
	int parent = (n - 1 - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, parent, n);
		parent--;
	}
	for(int i = n - 1; i > 0; i--)
	{
		Swap(&a[0], &a[i]);
		AdjustDown(a, 0, i);
	}
}

2.4 向下调整建堆：

从最后一个父节点（(end-1 )/2）开始向下调整建堆，到根结点向下调整建堆结束

void AdjustDown(HeapNodeDataType* array, int n, int size)
{
	assert(array);
	int parent = n;
	int child = n * 2 + 1;
	if (child + 1 < size && array[child] > array[child + 1])
	{
		child = n * 2 + 2;
	}

	while (child < size)
	{
		if (array[child] < array[parent])
		{
			Swap(&array[child], &array[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
			if (child + 1 < size && array[child] > array[child + 1])
			{
				child = parent * 2 + 2;
			}
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.5 TOPK问题：

首先取前K个元素向下调整建堆，然后遍历剩下的元素，若满足条件则进堆

如果是取前k个最大的数，那么就建小堆

如果是取前k个最小的数，那么就建大堆

void CreateNDate()//创建一个有100000个数的文件
{
	// 
	int n = 100000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}

	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = rand() % 100000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
}

void PrintTopK(int k)
{
	int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout,"%d", &arr[i]);
	}
	for (int i = (k - 1 - 1)/ 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, i, k);
	}
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) > 0)
	{
		if (x > arr[0])
		{
			arr[0] = x;
			AdjustDown(arr, 0, k);
		}
	}
	printf("ǰ%d", k);
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	printf("\n");
}

2.6 向上调整算法：

参数：需要数组的首元素地址，数组的有效元素个数

首先创建parent保存父亲结点

若父亲节点小于0则循环结束

判断父节点和子节点，若满足条件则交换，将父亲的值给孩子，继续求孩子结点的父节点

如果判断不需要交换则break

void AdjustUp(HeapNodeDataType* array, int n)
{
	assert(array);
	int child = n;
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;
		if (array[child] > array[parent])
		{
			Swap(&array[child], &array[parent]);
			child = parent;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.7 向下调整算法：

参数：数组的首元素地址，从什么下表开始向下调整，数组的有效元素个数

已知父亲结点，求左孩子和右孩子结点，判断左右孩子的大小，假设法找到符合条件的哪一个

当孩子结点小于或等于堆内有效元素-1的时候进入循环，孩子结点大于size-1的时候循环结束

比较父子结点，判断是否需要交换

需要交换则将孩子给给父亲，运用假设法继续求孩子的结点中符合条件的那个

不需要交换则break

注意：在比较左右孩子谁满足条件时，需要判断右孩子是否存在，也即右孩子的下表需要小于size

void AdjustDown(HeapNodeDataType* array, int n, int size)
{
	assert(array);
	int parent = n;
	int child = n * 2 + 1;
	if (child + 1 < size && array[child] > array[child + 1])
	{
		child = n * 2 + 2;
	}

	while (child < size)
	{
		if (array[child] < array[parent])
		{
			Swap(&array[child], &array[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
			if (child + 1 < size && array[child] > array[child + 1])
			{
				child = parent * 2 + 2;
			}
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

2.8 堆的初始化/返回堆顶元素/返回堆内有效元素个数/堆的判空/堆的销毁

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->_a = NULL;
	php->_capacity = php->_size = 0;
}
void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->_a);
	free(php->_a);
	php->_capacity = php->_size = 0;
}
HeapNodeDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->_a);
	return php->_a[0];
}
int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->_size;
}
void Swap(HeapNodeDataType* a, HeapNodeDataType* b)
{
	HeapNodeDataType tmp = *b;
	*b = *a;
	*a = tmp;
}
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	return php->_size == 0;
	assert(php);
}


http://www.kler.cn/news/313610.html

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