实变函数精解【23】

集合的测度

完全可加性、次可加性和有限可加性

在实变函数论中，完全可加性、次可加性和有限可加性是与集合的测度紧密相关的概念。这些概念在数学分析，尤其是积分理论和测度论中扮演着重要角色。以下是对这三个概念的详细解释：

1. 完全可加性（Complete Additivity）

完全可加性通常指的是在测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$中，对于任意两两互不相交的可测集序列 { E k } k = 1 ∞ \{E_k\}_{k=1}^{\infty} {Ek​}k=1∞​（即对于所有的$i\ne j$，有$E_i\cap E_j=\varnothing$），其并集的测度等于各集合测度之和，即

$$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{E}_k\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_k)$$
这里的关键是序列可以是无限长的。完全可加性是测度的一个基本性质，对于勒贝格测度等常见测度而言是成立的。

2. 次可加性（Subadditivity）

次可加性是一个更弱的条件，它要求对于任意（有限或无限）个集合的并集，其测度不超过这些集合测度之和。具体地，对于任意集合序列 { E k } k = 1 ∞ \{E_k\}_{k=1}^{\infty} {Ek​}k=1∞​（无论它们是否互不相交），有

$$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{E}_k\right)\le \sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_k)$$

次可加性是测度的一个基本属性，它保证了测度在集合运算下的某种“稳定性”。值得注意的是，即使集合序列中有无限多个集合，次可加性仍然成立。

3. 有限可加性（Finite Additivity）

有限可加性指的是当只考虑有限个两两互不相交的集合时，其并集的测度等于各集合测度之和。即，对于任意有限个两两互不相交的集合 { E k } k = 1 n \{E_k\}_{k=1}^{n} {Ek​}k=1n​（其中$n$是有限的），有

$$\mu \left(\bigcup _{k=1}^n{E}_k\right)=\sum _{k=1}^n\mu (E_k)$$

有限可加性是测度的一个基本性质，但在现代测度论中，它通常被完全可加性所取代，因为完全可加性提供了更强的条件，能够处理无限序列的情况。

总结

• 完全可加性：适用于无限序列，是测度的最强条件之一。
• 次可加性：一个较弱的条件，适用于任意（有限或无限）集合序列，是测度的一个基本属性。
• 有限可加性：适用于有限序列，是测度的基本性质之一，但在现代测度论中，其重要性相对较低。

Lebesgue积分收敛定理

是数学分析中的一个重要定理，尤其在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。该定理主要描述了Lebesgue可积函数序列的收敛性，对于理解积分的性质及其在数学分析、概率论等领域的应用具有重要意义。

一、定义与背景

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，旨在克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它描述了当函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分的收敛性质。

二、主要定理内容

Lebesgue积分收敛定理的具体表述如下：

设 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x\in \mathbb{R}$，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$$

并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x\in \mathbb{R}$，有

$$|f_n(x)|\le g(x),\forall n$$

那么有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{\mathbb{R}}{f}_n(x)d\mu (x)={\int }_{\mathbb{R}}f(x)d\mu (x)$$

这个定理表明，当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值，前提是这个序列的每一项都能被一个共同的勒贝格可积函数所控制。

三、证明思路

Lebesgue积分收敛定理的证明比较复杂，需要借助于测度论和实分析的一些基本定理和技巧。简要的证明思路如下：

1. 利用Lebesgue控制收敛定理的条件，证明对于每一个$ϵ>0$，存在一个测度有限的集合$E_{ϵ}$，使得当$x\in \mathbb{R}\backslash E_{ϵ}$时，对于所有的$n$有$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$。
2. 利用上述结论和Lebesgue积分的性质，证明${\lim }_{n\to \infty }{\int }_{\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|d\mu (x)=0$。
3. 结合$|f_n(x)|\le g(x)$和控制收敛定理，证明${\lim }_{n\to \infty }{\int }_{\mathbb{R}}{f}_n(x)d\mu (x)={\int }_{\mathbb{R}}f(x)d\mu (x)$。

四、应用与意义

Lebesgue积分收敛定理在实分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。例如，在实分析中，它可以用于证明一些函数序列的逐点收敛性与Lebesgue积分的收敛性之间的关系；在概率论中，它可以用于证明一些随机过程的收敛性；在调和分析中，它可以用于证明一些和声级数、傅里叶级数的收敛性。此外，该定理还显示了勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性，在数学分析、实变函数论等领域具有深远的意义。

综上所述，Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列收敛性的一个重要定理，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

Newton-Leibniz公式

通常也被称为微积分基本定理，是微积分学中的一个核心定理，它揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。该定理的重要性不言而喻，它是微积分理论的基础之一，为定积分的计算提供了有效而简便的方法。

一、定理内容

Newton-Leibniz公式的内容可以表述为：如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且存在一个原函数F(x)（即F’(x) = f(x)），那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分等于其原函数F(x)在区间[a, b]两个端点值之差，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

这个公式直观地展示了定积分与不定积分（或原函数）之间的紧密联系。

二、历史背景

Newton-Leibniz公式的发现归功于两位伟大的数学家——艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，而莱布尼茨则在1677年的一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，所以被命名为Newton-Leibniz公式。

三、定理意义

Newton-Leibniz公式的出现极大地简化了定积分的计算过程。在微积分学发展之前，人们计算定积分往往需要依赖于繁琐的几何方法或数值方法。而Newton-Leibniz公式则提供了一种更为直接和有效的方法，即通过求原函数在区间端点的函数值之差来计算定积分。这一方法不仅简化了计算过程，而且使得定积分的计算变得更加精确和可靠。

此外，Newton-Leibniz公式还是联系微分学与积分学的桥梁。它证明了微分与积分是可逆运算，即在一定条件下，一个函数的导数可以通过积分运算还原为该函数本身（或相差一个常数）。这一性质在微积分学中具有非常重要的意义，它使得微分学和积分学成为一个统一的整体。

四、应用领域

Newton-Leibniz公式在实际问题中有着广泛的应用。例如，在物理学中，该公式被用于计算质点运动的轨迹、速度和加速度等物理量；在工程学中，该公式被用于计算有关曲线和曲面的问题，如工程结构的面积、体积和质量等。此外，在金融学中，该公式也被用于计算资产收益率和复利等问题。

五、总结

综上所述，Newton-Leibniz公式是微积分学中的一个基本定理，它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系，为定积分的计算提供了有效而简便的方法。同时，该公式还是联系微分学与积分学的桥梁，具有非常重要的理论意义和应用价值。在现代科学研究和工程技术中，Newton-Leibniz公式的应用仍然十分广泛和深入。

积分互换

是一个重要的概念，它涉及到在特定条件下，积分运算与极限运算、求和运算等可以交换顺序的问题。这种交换顺序的能力在理论证明和实际计算中都非常有用。以下是对实变函数积分互换的一些讨论：

一、积分与极限的互换

在实变函数论中，积分与极限的互换通常受到一些严格的条件限制。一个著名的定理是勒贝格控制收敛定理（Lebesgue Dominated Convergence Theorem），它给出了积分与极限可以交换顺序的充分条件。具体来说，如果函数列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}在可测集$E$上几乎处处收敛于函数$f(x)$，且存在一个可积函数$g(x)$，使得对所有的$n$和几乎所有的$x\in E$，都有$|f_n(x)|\le g(x)$，那么有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_E\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$$

这个定理表明，在控制函数存在的情况下，积分运算与极限运算可以交换顺序。

二、积分与求和的互换

在实变函数论中，积分与求和的互换通常涉及到级数的逐项积分问题。一个相关的定理是逐项积分定理（Term-by-Term Integration Theorem），它给出了级数可以逐项积分的条件。具体来说，如果函数列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}在可测集$E$上非负可测，那么级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$在$E$上几乎处处收敛于一个可测函数$f(x)$，并且

$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_E\left(\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)\right)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx$$

这个定理表明，在函数列非负可测的情况下，积分运算与求和运算可以交换顺序。

三、其他积分互换情况

除了上述两种情况外，实变函数论中还可能涉及其他类型的积分互换问题。例如，在某些特殊情况下，积分与极限运算、微分运算等也可能交换顺序。然而，这些情况的交换顺序通常需要更严格的条件限制和复杂的证明过程。

四、应用与意义

积分互换在实变函数论中具有重要意义。它使得在特定条件下，复杂的积分计算可以简化为更简单的极限运算、求和运算等，从而大大简化了计算过程。此外，积分互换也是证明一些重要定理和结论的关键工具，如傅里叶变换的性质、微分方程的解的性质等。

五、注意事项

在进行积分互换时，必须注意满足相应的条件限制。如果条件不满足，那么积分互换可能不成立，从而导致错误的结论。因此，在实际应用中，需要仔细分析具体问题的条件和性质，以确定是否可以进行积分互换。

综上所述，实变函数论中的积分互换是一个重要的概念，它涉及到积分运算与极限运算、求和运算等可以交换顺序的问题。在特定条件下，积分互换可以大大简化计算过程，并且是证明一些重要定理和结论的关键工具。然而，在进行积分互换时，必须注意满足相应的条件限制。

黎曼积分的缺点和性质

作为数学分析中的一个重要概念，具有其独特的性质，但同时也存在一些明显的缺点。以下是关于黎曼积分的缺点和性质的详细讨论：

黎曼积分的缺点

1. 可积函数范围有限：

   • 黎曼积分主要适用于“基本上”连续的函数，即那些只在有限个点上不连续的函数。对于像Dirichlet函数这样处处不连续的函数，黎曼积分无法处理。
   • 黎曼可积函数形成的函数空间是不完备的，这对于数学分析来说是一个较大的局限性。

2. 积分与极限交换的条件苛刻：

   • 黎曼积分中，积分与极限运算的次序可交换的条件非常严格，通常需要函数列的一致收敛来保证。这使得在处理一些复杂的极限问题时显得不够灵活。

3. 积分区域限制：

   • 黎曼积分只能定义在有界闭区间[a, b]或n维欧式空间的有界闭连通区域上，对于像有理数集或无理数集这样的特殊集合，黎曼积分无法直接应用。
   • 黎曼积分的积分区域是用约当测度测量的，而约当测度只具备有限可加性，这限制了黎曼积分在处理一些更复杂集合时的能力。

4. 积分运算的局限性：

   • 黎曼积分运算并不完全是微分运算的逆运算，这在某些情况下会导致积分运算的复杂性增加。

黎曼积分的性质

1. 线性性：

   • 黎曼积分是线性变换，即如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上黎曼可积，且k和l为常数，则kf(x)+lg(x)在[a, b]上黎曼可积，且满足∫(a,b)[kf(x)+lg(x)]dx=k∫(a,b)f(x)dx+l∫(a,b)g(x)dx。

2. 正定性：

   • 如果函数在区间[a, b]上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a, b]上的积分也大于等于零。

3. 可加性：

   • 如果函数在区间[a, c]和[c, b]上都可积，那么它在区间[a, b]上也可积，并且有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx，无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

4. 与连续性的关系：

   • 黎曼积分与函数的连续性密切相关。如果f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上黎曼可积。此外，如果f(x)在区间[a, b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a, b]上黎曼可积。

综上所述，黎曼积分作为数学分析中的一个重要工具，具有其独特的性质，但同时也存在一些明显的缺点。这些缺点促使了后续积分理论的发展，如勒贝格积分等，以克服黎曼积分的局限性。

参考文献