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python 实现binomial coefficient二项式系数算法

article 2024/11/15 18:02:33

binomial coefficient二项式系数算法介绍

二项式系数（也称为组合数或“从n中取k”）是一个在组合数学中非常重要的概念，表示为 $C (n, k)$ 或 $\binom{n}{k}$ 。它表示从n个不同元素中选取k个元素（不考虑顺序）的方法数。

性质

非负性： $\binom{n}{k}≥0$
对称性： $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
边界条件：

当k=0或k=n时， $\binom{n}{k} =1$
当k<0或k>n时， $\binom{n}{k} =0$

递推关系（帕斯卡恒等式）： $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

计算公式

二项式系数可以使用以下公式进行计算：

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]$

其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×…×2×1，且特别地0! = 1。

递推关系

尽管直接使用阶乘公式计算二项式系数在n和k较大时可能非常低效（因为涉及到大量乘法运算和除法运算），但我们可以使用递推关系来更高效地计算它们。

二项式系数满足帕斯卡恒等式（Pascal’s Identity）：

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} ]$

这意味着，你可以从较小的二项式系数来计算较大的二项式系数，而不必每次都计算阶乘。

初始条件

为了使用这个递推关系，你需要一些初始条件：

当k=0或k=n时，(\binom{n}{k} = 1)。
当k<0或k>n时，(\binom{n}{k} = 0)。
编程实现

在编程中，你可以使用一个二维数组来存储并计算二项式系数，或者使用一维数组（利用对称性(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k})）来减少空间复杂度。

二维数组实现（简单但空间复杂度较高）

def binomial_coefficient(n, k):
    # 初始化二维数组
    C = [[0 for x in range(k+1)] for x in range(n+1)]
    # 边界条件
    for i in range(n+1):
        for j in range(min(i, k)+1):
            if j == 0 or j == i:
                C[i][j] = 1
            else:
                C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]
    return C[n][k]

一维数组实现（空间复杂度较低）

def binomial_coefficient_1d(n, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    C = [0] * (k+1)
    C[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(min(i, k), 0, -1):
            C[j] = C[j] + C[j-1]
        if i == n:
            return C[k]

**注意：**一维数组实现中，我们是从后向前更新数组C中的值，以避免在更新过程中使用到尚未更新的旧值。

binomial coefficient二项式系数算法python实现样例

以下是一种实现二项式系数算法的 Python 代码：

def binomial_coefficient(n, k):
    # 创建一个二维数组来存储计算结果
    dp = [[0 for j in range(k+1)] for i in range(n+1)]
    
    # 初始化边界条件
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    
    # 计算二项式系数
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, min(i, k)+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
    
    return dp[n][k]

# 示例用法
print(binomial_coefficient(5, 2))  # 输出 10

这段代码使用动态规划的思想，逐步计算每个位置的二项式系数。首先创建一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示从 i 个物品中选择 j 个的方案数。初始化边界条件为 dp[i][0] = 1，表示从 i 个物品中选择 0 个的方案数都为 1。然后使用双重循环计算 dp 数组的其他位置，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]，即选择当前物品或者不选择当前物品的方案数之和。最后返回 dp[n][k]，表示从 n 个物品中选择 k 个的方案数。在示例中，binomial_coefficient(5, 2) 返回 10，表示从 5 个物品中选择 2 个的方案数为 10。

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