行阶梯形矩阵的定义，通过正例和反例说明如何判断一个矩阵是不是行阶梯形矩阵
行阶梯形矩阵的定义：
一个矩阵被称为行阶梯形矩阵，如果它满足以下条件：
- 非零行在零行之上：所有非零行都位于零行的上方。
- 主元位置右移：在非零行中，首个非零元素（称为主元）所在的列在上一行的主元所在列的右边。
- 主元下方元素为零：主元所在列中，主元下面的所有元素都为零。
正例：行阶梯形矩阵的例子
例 1：
(
1
2
0
3
0
1
4
−
1
0
0
0
2
0
0
0
0
)
\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & \color{red}{1} & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
1000210004003−120
分析：
- 第一行的主元是 1，位于第 1 列。
- 第二行的主元是 1，位于第 2 列，右移了一位。
- 第三行的主元是 2，位于第 4 列，继续右移。
- 第四行是零行，位于底部。
- 主元下方的元素均为零。
例 2：
(
2
−
1
3
0
0
1
0
0
0
)
\begin{pmatrix} \color{red}{2} & -1 & 3 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
200−100310
分析：
- 第一行的主元是 2，位于第 1 列。
- 第二行的主元是 1，位于第 3 列，右移了两位。
- 第三行是零行。
- 主元下方的元素为零。
例 3：
(
1
2
3
0
5
6
0
0
0
)
\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 \\ 0 & \color{red}{5} & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
100250360
分析：
- 第一行的主元是 1，位于第 1 列。
- 第二行的主元是 5，位于第 2 列，右移一位。
- 第三行是零行。
- 主元下方的元素为零。
反例：不是行阶梯形的矩阵
反例 1：
(
0
1
2
1
0
3
0
0
1
)
\begin{pmatrix} 0 & \color{red}{1} & 2 \\ \color{red}{1} & 0 & 3 \\ 0 & 0 & \color{red}{1} \\ \end{pmatrix}
010100231
分析：
- 第一行的主元在第 2 列。
- 第二行的主元在第 1 列，没有右移，反而左移，违反了条件 2。
- 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。
反例 2：
(
1
2
3
0
1
4
0
0
0
0
2
1
)
\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 \\ 0 & \color{red}{1} & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
100021023401
分析：
- 第四行是非零行，位于零行（第三行）之下，违反了条件 1。
- 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。
反例 3：
(
1
2
0
0
0
3
0
1
0
)
\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{3} \\ 0 & \color{red}{1} & 0 \\ \end{pmatrix}
100201030
分析：
- 第一行的主元在第 1 列。
- 第二行的主元在第 3 列。
- 第三行的主元在第 2 列，没有位于上一行主元的右方，违反了条件 2。
- 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。
补充说明：
行阶梯形矩阵的特点：
- 主元位置：每一行的主元（首个非零元素）在矩阵中从上到下向右移动。
- 零行位置：所有零行都必须集中在矩阵的底部。
- 主元下方零元素：在主元所在的列中，主元下面的元素必须为零。
如何判断一个矩阵是否为行阶梯形矩阵：
- 从上到下检查非零行，确保非零行的主元位置逐行右移。
- 确认零行是否全部位于矩阵底部。
- 检查主元下方的元素，确保它们全为零。