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信息安全数学基础（15）欧拉定理

article 2024/9/23 15:06:05

前言

欧拉定理是数论中的一个重要定理，它建立了模运算下指数与模的互质关系。这个定理在密码学、信息安全等领域有着广泛的应用，特别是在公钥密码体制（如RSA加密算法）中。

一、表述

设 n 是一个正整数，a 是一个与 n 互质的整数（即 gcd(a,n)=1），那么 (n)≡1(modn)，其中 φ(n) 是欧拉函数，表示小于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

二、定义

欧拉函数 φ(n) 的定义是：对于任意正整数 n，φ(n) 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。例如，φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4（注意这里 φ(5) 应该是 4 的一个笔误，应为 φ(5)=4−1=1，因为小于 5 且与 5 互质的数只有 1）。

三、证明概要

构造集合：考虑集合 A={a,2a,3a,…,(n−1)a}，其中所有元素均对 n 取模。

互质性质：由于 a 与 n 互质，可以证明集合 A 中的元素模 n 后两两不同，且都与 n 互质。

重新排列：将集合 A 中的元素重新排列，使得每个元素都对应到小于 n 且与 n 互质的一个数。这样，我们可以得到一个新的集合 B，其中包含了所有小于 n 且与 n 互质的数。

乘积相等：考虑 A 和 B 中元素的乘积。一方面，A 中元素的乘积是 aφ(n)(n−1)!（模 n）；另一方面，B 中元素的乘积是 φ(n)!×(与n互质的数的某个排列)。由于两者模 n 相等，且 φ(n)! 与 n 互质（因为 φ(n)! 只包含小于 n 的质数因子），可以推出 aφ(n)≡1(modn)。