计算机组成原理==初识二进制运算
计算机组成原理
计算机算术概要
计算机算术是计算机组成原理中的一个重要部分，它涉及在计算机硬件中执行基本数学运算的方法和技术。计算机算术不仅包括简单的加减乘除运算，还包括更复杂的操作如浮点运算、位运算等。
1. 基本概念
- 数制：计算机内部通常使用二进制（基数为2）进行运算，但也有八进制（基数为8）、十六进制（基数为16）等形式用于简化表示。
- 补码表示：为了处理负数，计算机通常采用补码形式来表示整数。补码使得加法和减法可以统一成加法操作。
2. 整数运算
- 加法：直接的二进制加法，需要注意溢出问题。
- 减法：通过加上负数的补码实现。
- 乘法：可以通过多次移位和加法实现。
- 除法：可以通过重复的减法或移位和减法实现。
- 取模：除法运算的副产品，得到的是余数。
3. 浮点运算
- IEEE 754标准：定义了浮点数的格式，包括单精度（32位）和双精度（64位）。
- 浮点加减法：需要对齐指数，然后进行尾数的加减。
- 浮点乘除法：指数相加/减，尾数相乘/除，最后调整结果以符合规格化要求。
4. 逻辑运算与位运算
- 逻辑运算：包括AND、OR、NOT等，通常用于条件判断。
- 位运算：包括按位AND、OR、XOR、NOT以及移位操作，这些操作直接作用于数据的二进制位上。
5. 算术逻辑单元（ALU）
- 功能：ALU是CPU的一部分，负责执行所有的算术和逻辑运算。
- 设计：ALU的设计包括多个子模块，每个子模块处理特定类型的运算，例如加法器、多路选择器等。
6. 运算优化
- 并行计算：利用硬件的并行性提高运算速度。
- 流水线技术：将一个长的操作分解为多个小步骤，并让不同阶段同时工作。
- 专用硬件：例如FPU（浮点运算单元）专门用来加速浮点运算。
7. 错误检测与纠正
- 奇偶校验：通过添加额外的位来检测错误。
- 海明码：不仅可以检测错误，还可以纠正单个比特的错误。
8. 特殊情况
- 溢出：当运算结果超出表示范围时发生。
- 下溢：当数值变得太小而无法准确表示时发生。
- 舍入误差：在浮点运算中由于有限精度造成的误差。
计算机算术是计算机科学和工程的基础之一，理解这些概念对于开发高效的软件和设计高性能的硬件都非常重要。随着技术的发展，新的算法和硬件架构不断出现，以进一步提高计算效率和准确性。
二进制的运算
二进制乘法运算
二进制乘法运算遵循与十进制乘法相似的原则，但操作更为简单，因为只涉及0和1两个数字。在二进制中，任何数乘以0的结果是0，任何数乘以1的结果是它本身。当进行多位数相乘时，同样需要考虑位的对齐和进位的问题。
下面是一个简单的二进制乘法实例解析：
假设我们要计算二进制数 1011（等价于十进制的11）与 1101（等价于十进制的13）的乘积。
步骤如下：
1011
x 1101
________
1011 (这是1011 * 1)
0000 (左移一位，并且1011 * 0 = 0000)
1011 (再左移一位，相当于1011 * 1)
+ 1011 (最后左移三位，相当于1011 * 1)
________
10001111
解释每一行：
- 第一行是直接将1011乘以最右边的1。
- 第二行是将1011左移一位（相当于乘以2），然后乘以0，所以结果为0000。
- 第三行再次左移一位（相当于乘以4），这次是乘以1，所以得到1011。
- 第四行则是把1011左移三位（相当于乘以8），同样是乘以1，因此又得到了1011。
然后我们把这些结果加起来，注意要按照二进制加法规则处理进位问题。最终结果是10001111，这个二进制数转换成十进制就是143，确实等于11 * 13。
为了确保正确性，可以将最终的二进制结果转换回十进制来验证：10001111 = 12^7 + 02^6 + 02^5 + 02^4 + 12^3 + 12^2 + 12^1 + 12^0 = 128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143。
这就是一个完整的二进制乘法过程及其实例解析。
二进制补码=原码取反+1
- 二进制补码正数左移一位相当于二倍扩展
- 二进制右移相当于除以2
移位操作
快速乘法
构造逻辑矩阵
二进制除法运算
好的，让我们通过一个非常详细的步骤来展示二进制除法。我们将使用相同的例子：10101100（88）除以1100（12）。这个过程将被分解为多个小步骤，并且每一步都会详细解释。
步骤 1: 设置除法布局
__________
1100 | 10101100
步骤 2: 比较并确定商的第一位
- 我们从最左边开始比较，
1010比1100小，所以我们需要考虑更多的位数。 - 考虑
10101，它仍然小于1100。 - 现在考虑
101011，它大于1100，因此我们可以进行第一次减法。
步骤 3: 第一次减法
- 商的第一位是1，因为
101011可以容纳1100至少一次。 - 执行减法：
101011 - 1100 = 10011。 - 将结果写下来：
1
1100 | 10101100
- 1100
_______
10011
步骤 4: 下移一位并继续比较
- 将余数
10011向下移动一位，加上下一位数字0，得到100110。 100110大于1100，所以商的下一位也是1。- 执行减法：
100110 - 1100 = 10110。 - 更新除法布局：
11
1100 | 10101100
- 1100
_______
100110
- 1100
_______
10110
步骤 5: 再次下移一位并继续比较
- 将余数
10110向下移动一位，加上最后一位0，得到101100。 101100大于1100，所以商的下一位也是1。- 执行减法：
101100 - 1100 = 10000。 - 更新除法布局：
111
1100 | 10101100
- 1100
_______
100110
- 1100
_______
101100
- 1100
_______
10000
步骤 6: 结束条件
- 此时，剩余的
10000已经不足以再减去1100了，因此我们停止除法运算。 - 最终的商是
111（等于十进制的7），余数是10000（等于十进制的16）。
总结：
- 商是
111（7） - 余数是
10000（16）
这就是整个二进制除法的过程，每一步都尽可能地详细展示了。
浮点数的运算
在IEEE 754标准中的运算规则
浮点数运算是计算机科学中的一个重要主题，尤其是在数值计算、科学计算和工程应用中。IEEE 754标准定义了浮点数的表示方法以及运算规则，确保了不同平台之间的一致性。
浮点数的表示
在IEEE 754标准中，浮点数通常以单精度（32位）或双精度（64位）格式存储。一个浮点数由三个部分组成：
- 符号位（S）：1位，0表示正数，1表示负数。
- 指数（E）：8位（单精度）或11位（双精度），用于表示基数2的幂。
- 尾数（M）：23位（单精度）或52位（双精度），用于表示小数部分。
浮点数加减法
浮点数加减法的基本步骤如下：
-
对齐指数：
- 比较两个操作数的指数。
- 将较小指数的操作数的尾数向右移位，直到两个操作数的指数相等。每次右移一位，指数增加1。
-
执行加减法：
- 对齐后的尾数进行加法或减法运算。
- 如果结果的最高位是1，则需要进行规格化处理，即将结果左移一位，并相应地减少指数。
-
规格化：
- 确保结果的尾数在[1, 2)范围内。如果不在这个范围内，需要进行规格化处理。
- 规格化可能涉及多次移位和调整指数。
-
舍入：
- 根据IEEE 754标准选择合适的舍入模式（如向最近偶数舍入）。
- 舍入可能会导致尾数溢出，此时需要再次调整指数。
-
检查异常：
- 检查结果是否为无穷大、NaN（非数字）、下溢或上溢。
浮点数乘除法
浮点数乘除法的基本步骤如下：
-
处理符号位：
- 乘法时，两数符号位异或得到结果的符号位。
- 除法时，被除数符号位与除数符号位异或得到结果的符号位。
-
处理指数：
- 乘法时，两数指数相加。
- 除法时，被除数指数减去除数指数。
-
处理尾数：
- 乘法时，两数尾数相乘。
- 除法时，被除数尾数除以除数尾数。
-
规格化：
- 乘法后，结果尾数可能超过[1, 2)范围，需要右移并增加指数。
- 除法后，结果尾数可能小于1，需要左移并减少指数。
-
舍入：
- 根据IEEE 754标准选择合适的舍入模式。
- 舍入可能会导致尾数溢出，此时需要再次调整指数。
-
检查异常：
- 检查结果是否为无穷大、NaN、下溢或上溢。
舍入模式
IEEE 754标准定义了几种舍入模式：
- 向最近偶数舍入（Round to Nearest, Ties to Even）：默认模式，向最近的值舍入；如果距离相等，则舍入到最接近的偶数。
- 向零舍入（Round Toward Zero）：总是向零方向舍入。
- 向上舍入（Round Up）：总是向正无穷方向舍入。
- 向下舍入（Round Down）：总是向负无穷方向舍入。
异常情况
- 无穷大：当结果超出表示范围时。
- NaN：非法操作的结果，例如0/0。
- 下溢：结果太小而无法表示。
- 上溢：结果太大而无法表示。
实际实现
现代处理器通常包含专门的浮点运算单元（FPU）来高效执行这些运算。FPU会优化上述步骤，并且能够处理复杂的算术运算，如三角函数、对数等。
通过理解这些基本原理，你可以更好地掌握浮点数运算的工作方式，并在编写程序时考虑到浮点数运算的精度和性能问题。