＜ 微积分Calculus ＞
微积分
微分是把整体分拆为小部分来求它怎样改变
积分是把小部分连接在一起来求整体有多大，可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。
lim极限
函数f(x) -> Q(x) = y：x变量，f函数，Q(x)函数体（多项式），y返回值
对于一个函数f(x)，有时候无法根据变量x，得到返回值，但可以求近似结果:
(x->a) lim f(x) = L
当变量x趋近于（绝对值）a时，函数f(x)趋近于（极限是）L
求极限的方式：
一、代入变量的值
- 直接带入x到Q(x)
- 取临近值不断逼近答案
例：
二、代数因式分解
可以将Q(x)转化为因式形式，从而带入求极限
因数：两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数。
因式分解：将多项式Q(x)转化为因式形式
1·找到最大公因式：
比如求和+的多项式，找到公共因子
2·转化为恒等式
比如：Q(x) = 4x^2 - 9 = (2x)^2 - (3)^2
->根据(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 = (2x+3)(2x-3)
步骤：分解为同类项-》直到不能再分解为止
三、共轭
共轭：是把两个项之间的正负号倒转：3x + 1 -》 3x - 1
如果Q(x)是分式形式，上下都乘以 分子/母 的共轭
四、无穷，有理函数和极限
正无穷：没有极限的正数
- 负无穷：没有极限的负数
当x->时，求极限的方法：看多项式Q(x)的最高指数项
- //非分数形式
- 如果指数>=0,极限
/ -
- 如果指数<=0,极限 0
- //分数形式
- 如果分子 < 分母指数，分子为1，极限为0
- 如果分子 > 分母指数，极限
- 如果分子 == 分母指数，极限为最高指数项的系数的商
理解“趋近”和证明
趋近：无关正负性，是绝对值
当变量x越趋近于a时（|x−a|），函数f(x)越趋近于L（|f(x)−L|）
证明：
希腊字母δ"delta"，ε “epsilon"
我们用字母δ 表示|x−a|要小于的某个值，用ε 表示|f(x)−L|要小于的某个值
因为绝对值一定>=0，且不看完全==情况，因此
对于任何δ >0，ε有>0，从而使得当 0<|x−a|< δ 时|f(x)−L|< ε
如果存在δ 和ε的比例关系，满足以上条件，则可证明lim成立
比如：
a = 3 , L = 10
需要根据0<|x−3|<δ，得到|(2x+4)−10|<ε
- 展开移项:|x−3|<ε<2
- 当δ = ε<2时，移项可的|(2x+4)−10|<ε，因此lim成立
是否存在极限？
如果存在这样的情况， x趋近于a时，极限不存在
但可以表示为，a的左边极限，和右边极限的形式
也就是，如果左边极限 ！= 右边极限，则说明不存在极限
例：
导数
导数可以求解函数的 极值点，凹凸性，拐点等
一次导数 / 一次微分：
两点斜率：(y2 - y1) / (x2 - x1)
函数某一点的局部变化率：
极限表示：当增量Δx趋近于0时（称为dy,dx是无穷小的)，函数（y的增量 / x的增量）的极限
导数表示：f’(x)= dy/dx （Δy,Δx->0） ,f(x) 的导数等于 dy / dx，这个符号 ’ 的意思是 "的导数"，也可以记为d / dx
几何意义：表示函数值随自变量x变化的快慢程度（切线/坡度）
求导：
求导示例：
给定一个函数，求导数？将公式中fn替换为多项式形式，求得结果2x
也就是对于函数任何一点的坡度是2x
常见函数的导数：
导数法则：
二次导数 / 二次微分:
二次导数:是函数的导数的导数
f''(x) = d^2y / d^2x d(dy / dx) / dx
如何求二次微分结果？
先求函数的导数，再求导数的导数
理解：
一次导数（即斜率）描述了函数在某一点上随x变化的快慢程度，斜率越大变化越快
二次导数就是描述这个斜率本身如何随x变化的，衡量了函数曲线在某一点上“弯曲”的程度
形象理解：
在物理学中，速度可以看作是位置随时间变化的斜率，即求导数
而加速度则是速度随时间变化的斜率，即二次导数，求导的速度，再次和时间x求导
可微分，不可微分
可微分：存在导数-》转换为lim形式有极限-》左边极限 == 右边极限-》可微分
几何意义上：切线（斜率）方向是确定的，且函数是连续的
对于不可微分的，可以改变x的定义域，在一定范围是可微分的
求函数极大值，极小值
当可微分函数的导数（斜率）==0时，为极点
二次导数：小于 0 是极大值，大于 0 是极小值，==0检测失败
比如：
函数f(x) = 5x^3 + 2x^2 − 3x,求极大值和极小值
一次导数f'(x)（根据导数法则）15x^2 + 4x − 3,
当导数==0即，15x^2 + 4x − 3,==0时，x = −3/5 或= +1/3，
二次导数 f''(x) (再次求导） = 30x + 4，
在 x = −3/5：小于 0，为极大值，在 x = +1/3：大于 0，为极小值
上凹下凹，拐点
上凹：当坡度增大
下凹：当坡度减小
拐点:在上凹（下凹）变成下凹（上凹）的一个点
需要任何两点的连线不会和曲线相交，在 上凹 的情况下，直线不能在曲线下面，在 下凹 的情况下，直线不能在曲线上面
假设在曲面取两个点a,b，形成直线，用线性插值表示:x = ta + (1−t)b,（t 的值是从 0 到 1）
- 曲线在 y = f( ta + (1−t)b )
- 直线在 y = tf(a) + (1−t)f(b)
-
上凹： f( ta + (1−t)b ) <= tf(a) + (1−t)f(b)
-
下凹：f( ta + (1−t)b ) >= tf(a) + (1−t)f(b)
一次导数
- 若导数（坡度）连续增大，函数是 上凹
- 若导数（坡度）连续减小，函数是 下凹
二次导数
- 如果二次导数大于0：函数是 上凹
- 如果二次导数小于0：函数是 下凹
- 如果二次导数等于0：则可能表示函数在该点附近有拐点，但需要进一步分析来确定。
积分
是微分学的逆过程，主要研究如何由已知的函数（被积函数）和积分区间来求取一个数值（定积分）或另一个函数（不定积分）。积分在物理中常用于计算面积、体积、质量、功、能量等。
- 不定积分：找到一个函数，使得该函数在某区间内的导数为给定的函数。
- 定积分：在给定区间上，被积函数与坐标轴围成的图形的面积（或代数和）。
微分方程
是求导数的过程，也是函数在某一点附近的变化量的线性近似，