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数模方法论-无约束问题求解

article 2024/11/15 15:45:40

一、基本概念

无约束问题在数学建模中是指优化过程中没有任何限制条件的情况。这种问题旨在寻找一个决策变量集合，使得某个目标函数（如成本、效益或其他需要优化的量）达到最大或最小值。具体来说，无约束问题通常可以表示为：

$\text{minimize (or maximize) f(x)}$

其中是 $f(x)$ 目标函数， $x$ 是决策变量。在这种情况下，优化过程仅依赖于目标函数的性质，而无需考虑其他限制条件。假设我们要最大化某公司利润，利润函数为 $f(x)=-x^{2}+4x$ 。这是一个无约束的优化问题，我们可以通过求导和分析得到最优解。

无约束问题的求解方法包括但不限于：

梯度下降法：通过计算目标函数的梯度，逐步调整变量值以找到最优解。
牛顿法：利用二阶导数信息来加速收敛。
遗传算法、粒子群优化等启发式算法：在更复杂的情形中寻找近似最优解。

无约束问题常见于经济学、工程、运筹学等领域，适用于那些目标明确、且不受其他条件限制的优化任务。

二、例题求解

例题一

求解多元函数 $f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x$ 的极值

如果在驻点处 Hessian 阵为正定阵,则在该点取极小值;如果在驻点处 Hessian 阵为负定阵则在该点取极大值;如果在驻点处 Hessian 阵为不定阵,则该驻点不是极值点。可以验证:

Matlab求解

clc, clear
f=@(x) x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1);  %定义匿名函数
g=@(x) -f(x);
[xy1,z1]=fminunc(f, rand(2,1))  %求极小值点
[xy2,z2]=fminsearch(g,rand(2,1)); %求极大值点
xy2, z2=-z2

Python求解

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义函数 f
def f(x):
    return x[0]**3 - x[1]**3 + 3*x[0]**2 + 3*x[1]**2 - 9*x[0]

# 求极小值点
x0 = np.random.rand(2)  # 随机初始化
result_min = minimize(f, x0)

xy1 = result_min.x
z1 = result_min.fun

# 定义函数 g
def g(x):
    return -f(x)

# 求极大值点
result_max = minimize(g, np.random.rand(2))

xy2 = result_max.x
z2 = -result_max.fun

print("最小值点:", xy1, "最小值:", z1)
print("最大值点:", xy2, "最大值:", z2)

例题二

求函数 $f( x ) =100 ( x_{2} -x_{1}^{2} )^{2} + ( 1 -x_{1} )^{2}$ 的极小值。

Matlab求解

function main()
    % 主程序

    % 优化 fun3
    options = optimset('GradObj', 'on');
    [x3, y3] = fminunc(@fun3, rand(1, 2), options);
    fprintf('fun3 最小值点: [%f, %f], 最小值: %f\n', x3(1), x3(2), y3);

    % 优化 fun4
    options = optimset('GradObj', 'on', 'Hessian', 'on');
    [x4, y4] = fminunc(@fun4, rand(1, 2), options);
    fprintf('fun4 最小值点: [%f, %f], 最小值: %f\n', x4(1), x4(2), y4);
end

function [f, g] = fun3(x)
    f = 100 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
    g = [-400 * x(1) * (x(2) - x(1)^2) - 2 * (1 - x(1)); 
          200 * (x(2) - x(1)^2)];
end

function [f, df, d2f] = fun4(x)
    f = 100 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
    df = [-400 * x(1) * (x(2) - x(1)^2) - 2 * (1 - x(1)); 
           200 * (x(2) - x(1)^2)];
    d2f = [-400 * x(2) + 1200 * x(1)^2 + 2, -400 * x(1);
           -400 * x(1), 200];
end

% 调用主程序
main();

Python求解

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义函数 fun3
def fun3(x):
    f = 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2
    g = np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0]**2) - 2 * (1 - x[0]),
                  200 * (x[1] - x[0]**2)])
    return f, g

# 定义函数 fun4
def fun4(x):
    f = 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2
    df = np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0]**2) - 2 * (1 - x[0]),
                   200 * (x[1] - x[0]**2)])
    d2f = np.array([[-400 * x[1] + 1200 * x[0]**2 + 2, -400 * x[0]],
                    [-400 * x[0], 200]])
    return f, df, d2f

# 使用 fminunc 求解最小值
x0 = np.random.rand(2)

# 优化 fun3
result_min3 = minimize(lambda x: fun3(x)[0], x0, jac=lambda x: fun3(x)[1])
x3, y3 = result_min3.x, result_min3.fun

# 优化 fun4
result_min4 = minimize(lambda x: fun4(x)[0], x0, jac=lambda x: fun4(x)[1],
                       hess=lambda x: fun4(x)[2])
x4, y4 = result_min4.x, result_min4.fun

print("fun3 最小值点:", x3, "最小值:", y3)
print("fun4 最小值点:", x4, "最小值:", y4)

例题三

求函数 $f(x) = \sin( x ) + 3$ 取极小值时候的 $x$ 值。

Matlab求解

function main()
    % 初始值
    x0 = 2;
    
    % 调用优化函数
    [x, y] = fminsearch(@fun5, x0);
    
    % 输出结果
    fprintf('最优点: %f, 最小值: %f\n', x, y);
end

function f = fun5(x)
    % 目标函数
    f = sin(x) + 3;
end

% 调用主程序
main();

Python求解

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def fun5(x):
    # 目标函数
    return np.sin(x) + 3

def main():
    # 初始值
    x0 = 2
    
    # 调用优化函数
    result = minimize(fun5, x0)
    
    # 输出结果
    print(f'最优点: {result.x[0]:.6f}, 最小值: {result.fun:.6f}')

# 调用主程序
if __name__ == "__main__":
    main()

例题四

求多项式 $f( x ) =x^{3} -x^{2} +2x -3$ 的零点。

Matlab求解

clc, clear
xishu=[1 -1 2 -3]; %多项式是用向量定义的，系数从高次幂到低次幂排列
x0=roots(xishu)

syms x
x0=solve(x^3-x^2+2*x-3) %求函数零点的符号解
x0=vpa(x0,5)  %化成小数格式的数据

y=@(x) x^3-x^2+2*x-3;
x=fsolve(y,rand)  %只能求给定初始值附近的一个零点

Python求解

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, solve, N

# 定义多项式系数
coefficients = [1, -1, 2, -3]

# 求多项式的根
roots = np.roots(coefficients)
print(f'多项式的根: {roots}')

# 使用符号解求零点
x = symbols('x')
symbolic_roots = solve(x**3 - x**2 + 2*x - 3, x)
symbolic_roots_decimal = [N(root, 5) for root in symbolic_roots]
print(f'符号解的零点（小数格式）: {symbolic_roots_decimal}')

# 定义目标函数
def y(x):
    return x**3 - x**2 + 2*x - 3

# 使用 fsolve 求给定初始值附近的一个零点
initial_guess = np.random.rand()
numerical_root = fsolve(y, initial_guess)
print(f'给定初始值附近的零点: {numerical_root[0]}')

例题五

求方程组的解 $\begin{cases}x^2 + y - 6 = 0\\y^2 + x - 6 = 0\end{cases}$ 。

Matlab求解

syms x y
[x,y]=solve(x^2+y-6,y^2+x-6)

f=@(x) [x(1)^2+x(1)-6; x(2)^2+x(1)-6];
xy=fsolve(f,rand(2,1)) %只能求给定初始值附近的一组解

Python求解

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, solve

# 定义符号变量
x, y = symbols('x y')

# 求解方程组
solutions = solve((x**2 + y - 6, y**2 + x - 6), (x, y))
print(f'方程组的符号解: {solutions}')

# 定义目标函数
def equations(vars):
    x_val, y_val = vars
    return [x_val**2 + y_val - 6, y_val**2 + x_val - 6]

# 使用 fsolve 求解
initial_guess = np.random.rand(2)
numerical_solution = fsolve(equations, initial_guess)
print(f'给定初始值附近的解: {numerical_solution}')