代码随想录算法day40 | 动态规划算法part13 | 647. 回文子串，516.最长回文子序列

647. 回文子串

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给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

• 输入："abc"
• 输出：3
• 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

• 输入："aaa"
• 输出：6
• 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：输入的字符串长度不会超过 1000 。

暴力解法

两层 for 循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

动规五部曲：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为下标 i 结尾的字符串有 dp[i] 个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串 S 是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0] 和 s[4] 这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串 s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i, j]）是否回文，依赖于：子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

• 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种：

• s[i] 与 s[j] 相等
• s[i] 与 s[j] 不相等

当 s[i] 与 s[j] 不相等，那没啥好说的了，dp[i][j] 一定是 false。

当 s[i] 与 s[j] 相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标 i 与 j 相同，同一个字符例如 a，当然是回文子串
• 情况二：下标 i 与 j 相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标 i 与 j 相差大于 1 的时候，例如cabac，此时 s[i] 与 s[j] 已经相同了，我们看 i 到 j 区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1] == true) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result 就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当 s[i] 与 s[j] 不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

• dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为 true 么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以 dp[i][j] 初始化为 false。

• 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据 dp[i + 1][j - 1] 是否为 true，在对 dp[i][j] 进行赋值 true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i, j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.length(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1] == true) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

• 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以 j 一定是大于等于 i 的，那么在填充 dp[i][j] 的时候一定是只填充右上半部分。

以上分析完毕，Java代码如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int result = 0;
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (chars[i] == chars[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { //情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

 以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        
        int res = 0;
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    res++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)

双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len, ans = 0;
        if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
        //总共有2 * len - 1个中心点
        for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {
            //通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串
            //有两种情况，left == right，right = left + 1，这两种回文中心是不一样的
            int left = i / 2, right = left + i % 2;
            while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
                //如果当前是一个回文串，则记录数量
                ans++;
                left--;
                right++;
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)

516.最长回文子序列

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给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: "bbbab" 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2: 输入:"cbbd" 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 只包含小写英文字母

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串 s 在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

• 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看 s[i] 与 s[j] 是否相同。

如果 s[i] 与 s[j] 相同，那么 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图： 

如果 s[i] 与 s[j] 不相同，说明 s[i] 和 s[j] 的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

• dp数组如何初始化

首先要考虑当 i 和 j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和 j 相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当 i 与 j 相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况 dp[i][j] 初始为 0 就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中 dp[i][j] 才不会被初始值覆盖。

 int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
 for(int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
     dp[i][i] = 1; // 初始化

• 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j 的话，可以正常从左向右遍历。

代码如下：

for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

• 举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

以上分析完毕，Java代码如下：

public class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
            dp[i][i] = 1; // 初始化
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
}

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n^2)