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详解机器学习经典模型(原理及应用)——逻辑回归

article 2024/11/15 16:01:49

一、什么是逻辑回归

逻辑回归模型是经典的统计模型，主要用于处理二分类问题（预测一个事件发生与否的概率）。得益于其简单性和高度可解释性，逻辑回归在业务中常被用作baseline之一。即便是上亿量级的数据，也能够在很短的时间内完成逻辑回归模型的训练和部署，这使得在一部分重反馈速度、轻性能指标的业务场景中应用逻辑回归成为了常态，比如在一些低性能芯片中进行算法模型的边端部署时，常用逻辑回归（甚至是人工规则）作为边端模型。

二、逻辑回归模型原理

逻辑回归模型包括两个部分：一个是线性回归函数；另一个是应用在线性回归函数输出结果上的逻辑函数（Sigmoid函数），它将线性回归的输出映射到0和1之间，从而可以将线性输出表示为概率。

1、线性回归函数

首先，计算一个线性组合，即输入特征与权重的点积加上偏置项（截距）。

$z = k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+...+k_{n}x_{n}+b$

其中，k为特征权重，b为函数偏置，x为特征。至此，完成逻辑回归模型第一步的计算。

2、Sigmoid函数

给定输入特征x时，样本属于类别1的概率可以使用Sigmoid函数计算：

$p(y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-z}}$

其中，z则为线性回归函数，由此输出一个介于0和1之间的概率值。这意味着逻辑回归可以提供关于分类决策的不确定性的信息。在二分类问题中，通常将概率值0.5作为阈值，当p大于0.5时，预测类别为1；否则，预测类别为0。因此，虽然逻辑回归模型包含“回归”二字，实际上它是一个分类模型。

三、模型损失函数

逻辑回归模型训练过程中的参数优化一般使用最大似然估计来实现。对应的损失函数是交叉熵损失（Cross-Entropy Loss），也称为对数损失（Log Loss）。

$L(k) = -\frac{1}{N}\sum_{N}^{i=1}(y_{i} \times log(p(y=1|x_{i}))+(1-y_{i})\times log(1-p(y=1|x_{i})))$

其中，N是样本数量， $y_{i}$ 是第i个样本的实际类别标签，p(y=1∣ $x_{i}$ ) 是模型预测的概率。显然，当真实标签 $y_{i}$ 为0时，损失函数只有后半部分参与计算，为1时则只有前半部分参与计算。该损失函数会迫使逻辑函数的预测概率逼近真实标签。

1、损失函数最小值

当模型的预测概率p(y=1∣ $x_{i}$ ) 完全匹配真实标签 $y_{i}$ 时，交叉熵损失达到最小值0。对于二分类问题，如果真实标签 $y_{i}$ 是1，并且模型预测的概率p(y=1∣ $x_{i}$ ) 也是1，或者如果 $y_{i}$ 是0，并且模型预测的概率p(y=1∣ $x_{i}$ ) 也是0，那么交叉熵损失为0，因为log⁡(1)=0。

2、损失函数最大值

当模型的预测概率p(y=1∣ $x_{i}$ ) 与真实标签 $y_{i}$ 完全相反时，交叉熵损失达到最大值正无穷大。对于二分类问题，如果p(y=1∣ $x_{i}$ ) 是1，但 $y_{i}$ 接近0，或者p(y=1∣ $x_{i}$ ) 是0，但 $y_{i}$ 接近1，损失函数的值会接近正无穷大。因为log⁡(0)趋向于负无穷大，所以−log(0) 趋向于正无穷大。

四、模型训练优化器

逻辑回归函数常用梯度下降算法进行模型训练。梯度下降是一种优化算法，用于最小化损失函数，常用于机器学习和深度学习中的模型训练，其核心思想是找到函数的最小值。梯度是一个向量，指向损失函数增长最快的方向。通俗来说，想象你站在一个山顶上，想要尽快到达山脚。由于你看不见整个山的地形，你只能根据当前位置的斜率（也就是梯度）来决定下一步的方向。梯度下降算法就是模拟这个过程：首先，检查你周围的地面，发现某个方向的斜率最大（也就是最陡峭的方向），这个斜率告诉你下山的方向；然后，你朝着这个方向迈出一步，这一步的大小由两个因素决定：斜率的大小（梯度）和你对迈出步伐的信心（学习率）；接着，你不断重复这个过程，每次都在当前位置测量斜率，并朝着斜率告诉你的下山方向迈出一步；最终，你希望这个过程能够带你到达山脚，也就是整个山的最低点（实际上有可能陷入局部最低点，此处不探讨）。

在数学上，梯度是损失函数对每个参数的偏导数组成的向量。在每次模型训练迭代中，我们根据梯度和学习率来更新参数：

$\theta = \theta - \alpha \times \triangledown L(\theta )$

这里， $\triangledown L(\theta )$ 是损失函数在参数 $\theta$ 处的梯度， $\alpha$ 是学习率。更新的过程会不断重复，直到满足某个终止条件，比如梯度足够小、达到预设的迭代次数，或者损失函数的值不再显著下降。

五、模型应用

1、二分类

逻辑回归作为经典的机器学习模型，可以通过python第三方库scikit-learn进行调用，二分类任务示例代码如下：

# 导入必要的库
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 生成模拟的二分类数据集
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20, n_classes=2, random_state=42)

# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建逻辑回归模型实例
logreg = LogisticRegression()

# 训练模型
logreg.fit(X_train, y_train)

# 在测试集上进行预测
y_pred = logreg.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')

# 查看模型参数可以打印coef_和intercept_
print(f'Coefficients: {logreg.coef_}')
print(f'Intercept: {logreg.intercept_}')

2、多标签分类

多标签分类区别于多分类。多分类指的是标签类别大于两类的分类任务，但每个样本只能属于其中的一个类别。多标签分类指的是一个样本可以同时属于多个标签类别的分类任务，例如“香蕉”在食物类别上属于“水果”，在颜色上又是“黄色”，所以可以同时打上这两个标签。

逻辑回归也常用于多标签分类任务。对于多标签分类问题，即一个样本可以同时具有多个标签，可以通过一些策略进行扩展来处理这种类型的任务，常见的方法有：

（1）一对一（One-vs-One）：在这种方法中，对于每个标签，都训练一个二分类的逻辑回归模型来区分该标签和其他所有标签。例如，如果有3个标签A、B和C，我们会训练以下模型：A vs B，A vs C，B vs C。在预测时，每个模型都会输出一个概率值，样本会被赋予概率最高的标签。

（2）一对多（One-vs-Rest）：这种方法与一对一类似，但是对于每个标签，训练一个二分类模型来区分该标签和所有其他标签的组合。在预测时，样本会被赋予所有预测概率高于某个阈值的标签。

以下示例是常用的一对多建模代码：

# 导入必要的库
from sklearn.datasets import make_multilabel_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 生成模拟的多标签分类数据集
# y的每一行都包含多个标签，例如[0, 1, 1]
X, y = make_multilabel_classification(n_samples=100, n_features=20, n_classes=3, n_labels=2, random_state=42)

# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建逻辑回归模型实例
# multi_class='multinomial'参数处理多标签分类问题,会使用多项式分布来建模标签的联合概率。
logreg = LogisticRegression(multi_class='multinomial', solver='lbfgs')

# 使用一对多策略包装逻辑回归模型
ovr_classifier = OneVsRestClassifier(logreg)

# 训练模型
ovr_classifier.fit(X_train, y_train)

# 在测试集上进行预测
y_pred = ovr_classifier.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')

# 查看模型参数可以打印每个类别模型的coef_和intercept_
for i, classifier in enumerate(ovr_classifier.estimators_):
    print(f'Classifier {i}:')
    print(f'Coefficients: {classifier.coef_}')
    print(f'Intercept: {classifier.intercept_}')

六、总结

虽然逻辑回归的结构非常简单，但它在业界的应用却无处不在。不论是需要快速处理大批量数据的业务场景，还是需要高可解释性的业务场景（例如给一些老板汇报），逻辑回归往往都是第一个被想到的baseline。与更为强大的模型相结合之后，逻辑回归还能进一步发挥作用，例如搜广推领域著名的GBDT-LR模型。尽管逻辑回归在许多应用中表现出色，但也存在一些不足之处：

（1）线性假设限制：逻辑回归模型假设特征与输出标签之间存在线性关系，这种假设可能不总是成立，导致模型无法捕捉复杂的非线性关系。

（2）特征交互能力有限：逻辑回归本身不擅长处理特征之间的交互作用。虽然可以通过手工创建交互项来解决这个问题，但这需要领域知识和大量的特征工程。

（3）不能捕捉复杂的数据结构：对于具有复杂数据结构的问题，如深度学习模型能够处理的层次结构或序列数据，逻辑回归模型就过于简单了。

（4）对异常值敏感：逻辑回归对异常值和噪声数据敏感。

（5）分类阈值制定：逻辑回归模型通常使用0.5作为分类阈值，但实际上最优阈值可能需要根据具体问题进行调整（可以让模型输出概率，人工进行后处理）。在需要高精度的场景，分类阈值（即概率）需要调整得更高，如阈值超过0.8才预测为正类（当然，这一定程度上会降低召回率）。

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