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一个证明-待验证

article 2024/12/29 12:25:18

定理 6 指出，如果 $\mathscr{F}$ 是 $\Omega$ 中的一个集代数，那么由 $\mathscr{F}$ 生成的最小的 $\sigma$ -代数 $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 等于 $\sigma(\mathscr{F})$ ，即 $\mathscr{F}$ 的最小 $\sigma$ -代数。此外，任何包含 $\mathscr{F}$ 的单调类必然包含 $\sigma(\mathscr{F})$ 。

证明：

定义和初步观察：
- 集代数 $\mathscr{F}$ 意味着 $\mathscr{F}$ 是 $\Omega$ 的一个子集族，并且对于任意的 $\in \mathscr{F}$ ，有 $\cup B, A \cap B \in \mathscr{F}$ ，并且 $\Omega \in \mathscr{F}$ 。
- $\sigma(\mathscr{F})$ 表示由 $\mathscr{F}$ 生成的最小的 $\sigma$ -代数，即包含 $\mathscr{F}$ 并且对于任意的 $A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{F}$ ，有 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \sigma(\mathscr{F})$ 和 $A^c \in \sigma(\mathscr{F})$ （其中 $A^c$ 表示 $A$ 的补集）。
$\mathscr{F} \subseteq \sigma(\mathscr{F})$ ：
- 显然， $\mathscr{F}$ 中的每个集合都属于 $\sigma(\mathscr{F})$ ，因为 $\sigma(\mathscr{F})$ 是包含 $\mathscr{F}$ 的最小 $\sigma$ -代数。
$\sigma(\mathscr{F})$ 是 $\sigma$ -代数：
- $\sigma(\mathscr{F})$ 包含 $\Omega$ 。
- 对于任意的 $\in \sigma(\mathscr{F})$ ， $A^c \in \sigma(\mathscr{F})$ 。
- 对于任意的可数序列 $A_1, A_2, \ldots \in \sigma(\mathscr{F})$ ， $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \sigma(\mathscr{F})$ 。
$\mathfrak{M}(\mathscr{F}) \subseteq \sigma(\mathscr{F})$ ：
- $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 是包含 $\mathscr{F}$ 的最小的 $\sigma$ -代数。
- 由于 $\sigma(\mathscr{F})$ 也是包含 $\mathscr{F}$ 的 $\sigma$ -代数，并且 $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 是最小的，所以 $\mathfrak{M}(\mathscr{F}) \subseteq \sigma(\mathscr{F})$ 。
$\sigma(\mathscr{F}) \subseteq \mathfrak{M}(\mathscr{F})$ ：
- 我们需要证明 $\sigma(\mathscr{F})$ 满足 $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 的定义。
- $\sigma(\mathscr{F})$ 包含 $\mathscr{F}$ 。
- $\sigma(\mathscr{F})$ 是 $\sigma$ -代数，所以它满足 $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 的要求。
- 由于 $\mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 是最小的，所以 $\sigma(\mathscr{F}) \subseteq \mathfrak{M}(\mathscr{F})$ 。
结论：
- 由于 $\mathfrak{M}(\mathscr{F}) \subseteq \sigma(\mathscr{F})$ 且 $\sigma(\mathscr{F}) \subseteq \mathfrak{M}(\mathscr{F})$ ，我们可以得出 $\mathfrak{M}(\mathscr{F}) = \sigma(\mathscr{F})$ 。
包含 $\mathscr{F}$ 的任一单调类必包含 $\sigma(\mathscr{F})$ ：
- 单调类是指如果一个集合族中的集合属于该类，那么它的任意子集也属于该类。
- 由于 $\sigma(\mathscr{F})$ 是由 $\mathscr{F}$ 生成的，并且包含 $\mathscr{F}$ 的所有可数并集和补集，任何包含 $\mathscr{F}$ 的单调类必须也包含这些并集和补集，因此必须包含 $\sigma(\mathscr{F})$ 。