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代码随想录Day 57|prim算法和kruskal算法精讲，题目：寻宝

article 2024/11/17 22:18:03

提示：DDU，供自己复习使用。欢迎大家前来讨论~

文章目录

图论part07
**prim算法精讲**
- 题目：53. 寻宝
- - 解题思路：
  - Prim算法
  - Kruskal算法
  - 总结
  - Prim算法的核心步骤（三部曲）：
  - 关键数据结构：
  - 算法流程：
  - 初始状态
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6
  - 7
  - 最后
**kruskal算法精讲**
- 题目：[53. 寻宝（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1053)
- - 解题思路
- 总结

图论part07

prim算法精讲

题目：53. 寻宝

53. 寻宝（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)

解题思路：

最小生成树问题是图论中的经典问题，目的是在加权无向图中找到一个包含所有节点的子图（生成树），使得这棵树的总权重（边的权重和）最小。

Prim算法

逐步构建：从任意一个节点开始，逐步添加边和节点，直到所有节点都被包含在生成树中。
贪心选择：在每一步，选择一条连接已选择的节点集合和未选择的节点且权重最小的边。
数据结构：通常使用优先队列（最小堆）来快速找到当前最小的边。

Kruskal算法

边的排序：将图中的所有边按权重从小到大排序。
贪心选择：按排序后的顺序选择边，保证每次添加的边不会与已选择的边构成环。
数据结构：使用并查集来快速检测添加的边是否会造成环。

总结

目标：最小生成树的目标是以最小的成本连接图中的所有节点。
方法：
- Prim算法从节点出发，逐步构建最小生成树。
- Kruskal算法从边出发，按权重顺序构建最小生成树。

例如本题示例中的无向有权图为：

Prim算法的核心步骤（三部曲）：

选择最近节点：从已有的最小生成树中选择一个距离最小的节点，该节点尚未包括在最小生成树中。
加入生成树：将选定的节点加入到最小生成树中。
更新距离：更新非最小生成树节点到最小生成树的距离。

关键数据结构：

minDist数组：记录每个节点到最小生成树的最短距离。

算法流程：

从任意一个节点开始构建最小生成树。
使用minDist数组跟踪每个节点到最小生成树的最短边的距离。
每次循环选择一个未加入最小生成树的节点，该节点有最小的minDist值。
更新minDist数组，减去已加入最小生成树的节点相关的距离，以反映新的最短距离。

初始状态

初始化minDist数组为一个最大数，如10001，是为了让数组正确反映每个节点到最小生成树的初始最大距离，以便在算法执行过程中通过比较更新这些距离。

如图：

开始构造最小生成树

2

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

选择距离最小生成树最近的节点，加入到最小生成树，刚开始还没有最小生成树，所以随便选一个节点加入就好（因为每一个节点一定会在最小生成树里，所以随便选一个就好），那我们选择节点1 （符合遍历数组的习惯，第一个遍历的也是节点1）

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

此时节点1 已经算最小生成树的节点。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

接下来，我们要更新所有节点距离最小生成树的距离，如图：

注意下标0，我们就不管它了，下标 1 与节点 1 对应，这样可以避免大家把节点搞混。

此时所有非生成树的节点距离最小生成树（节点1）的距离都已经跟新了。

节点2 与节点1 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[2]。
节点3 和节点1 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[3]。
节点5 和节点1 的距离为2，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[5]。

注意图中我标记了 minDist数组里更新的权值，是哪两个节点之间的权值，例如 minDist[2] =1 ，这个 1 是节点1 与节点2 之间的连线，清楚这一点对最后我们记录最小生成树的权值总和很重要。

3

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

选取一个距离最小生成树（节点1）最近的非生成树里的节点，节点2，3，5 距离最小生成树（节点1）最近，选节点 2（其实选节点3或者节点2都可以，距离一样的）加入最小生成树。

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

此时节点1 和节点2，已经算最小生成树的节点。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

接下来，我们要更新节点距离最小生成树的距离，如图：

此时所有非生成树的节点距离最小生成树（节点1、节点2）的距离都已经跟新了。

节点3 和节点2 的距离为2，和原先的距离值1 小，所以不用更新。
节点4 和节点2 的距离为2，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[4]。
节点5 和节点2 的距离为10001（不连接），所以不用更新。
节点6 和节点2 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[6]。

4

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

选择一个距离最小生成树（节点1、节点2）最近的非生成树里的节点，节点3，6 距离最小生成树（节点1、节点2）最近，选节点3 （选节点6也可以，距离一样）加入最小生成树。

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

此时节点1 、节点2 、节点3 算是最小生成树的节点。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：

所有非生成树的节点距离最小生成树（节点1、节点2、节点3 ）的距离都已经跟新了。

节点 4 和节点 3的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[4]为1。

上面为什么我们只比较节点4 和节点3 的距离呢？

因为节点3加入最小生成树后，非生成树节点只有节点 4 和节点3是链接的，所以需要重新更新一下节点4距离最小生成树的距离，其他节点距离最小生成树的距离都不变。

5

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

继续选择一个距离最小生成树（节点1、节点2、节点3）最近的非生成树里的节点，为了巩固大家对 minDist数组的理解，这里我再啰嗦一遍：

minDist数组是记录了所有非生成树节点距离生成树的最小距离，所以从数组里我们能看出来，非生成树节点 4 和节点 6 距离生成树最近。

任选一个加入生成树，我们选节点4（选节点6也行）。

注意，我们根据 minDist数组，选取距离生成树最近的节点加入生成树，那么 minDist数组里记录的其实也是最小生成树的边的权值（我在图中把权值对应的是哪两个节点也标记出来了）。因为最后我们要求最小生成树里所有边的权值和。

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

此时节点1、节点2、节点3、节点4 算是最小生成树的节点。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：

minDist数组已经更新了所有非生成树的节点距离最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）的距离。

节点 5 和节点 4的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[5]为1。

6

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

继续选距离最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）最近的非生成树里的节点，只有节点 5 和节点6。

选节点5 （选节点6也可以）加入生成树。

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 算是最小生成树的节点。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：

minDist数组已经更新了所有非生成树的节点距离最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）的距离。

节点 6 和节点 5 距离为 2，比原先的距离值 1 大，所以不更新
节点 7 和节点 5 距离为 1，比原先的距离值 10001小，更新 minDist[7]

7

1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点

继续选距离最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）最近的非生成树里的节点，只有节点 6 和节点7。

2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树

选节点6 （选节点7也行，距离一样的）加入生成树。

3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

节点1、节点2、节点3、节点4、节点5、节点6 算是最小生成树的节点，接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：

这里就不在重复描述了，大家类推，最后，节点7加入生成树，如图：

最后

在Prim算法的最后，我们成功构建了一棵最小生成树，其中绿色的边展示了连接所有节点的最小权值路径。通过始终选择距离已有最小生成树最近的节点加入，我们确保了总权值最小化。minDist数组在整个过程中起到了关键作用，它记录了所有非生成树节点到生成树的最小距离，这些距离实际上代表了最小生成树边的权值。随着算法的进行，我们不断更新minDist数组，最终，这个数组中的值累加起来，就得到了最小生成树的总权值。

以下代码，对 prim三部曲，做了重点注释，大家根据这三步，就可以透彻理解prim。

#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>

using namespace std;
int main() {
    int v, e;
    int x, y, k;
    cin >> v >> e;
    // 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000
    vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));
    while (e--) {
        cin >> x >> y >> k;
        // 因为是双向图，所以两个方向都要填上
        grid[x][y] = k;
        grid[y][x] = k;

    }
    // 所有节点到最小生成树的最小距离
    vector<int> minDist(v + 1, 10001);

    // 这个节点是否在树里
    vector<bool> isInTree(v + 1, false);

    // 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起
    for (int i = 1; i < v; i++) {

        // 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
        int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树
        int minVal = INT_MAX;
        for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始
            //  选取最小生成树节点的条件：
            //  （1）不在最小生成树里
            //  （2）距离最小生成树最近的节点
            if (!isInTree[j] &&  minDist[j] < minVal) {
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }
        // 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树
        isInTree[cur] = true;

        // 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
        // cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下
        // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            // 更新的条件：
            // （1）节点是 非生成树里的节点
            // （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小
            // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
                minDist[j] = grid[cur][j];
            }
        }
    }
    // 统计结果
    int result = 0;
    for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边
        result += minDist[i];
    }
    cout << result << endl;

}

时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量。

kruskal算法精讲

题目：53. 寻宝（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)

解题思路

prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。

kruscal的思路：

边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
遍历排序后的边
- 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
- 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合

下面我们画图举例说明kruscal的工作过程。

依然以示例中，如下这个图来举例。

将图中的边按照权值有小到大排序，这样从贪心的角度来说，优先选权值小的边加入到最小生成树中。

排序后的边顺序为[(1,2) (4,5) (1,3) (2,6) (3,4) (6,7) (5,7) (1,5) (3,2) (2,4) (5,6)]

(1,2) 表示节点1 与节点2 之间的边。权值相同的边，先后顺序无所谓。

开始从头遍历排序后的边。

选边(1,2)，节点1 和节点2 不在同一个集合，所以生成树可以添加边(1,2)，并将节点1，节点2 放在同一个集合。

选边(4,5)，节点4 和节点 5 不在同一个集合，生成树可以添加边(4,5) ，并将节点4，节点5 放到同一个集合。

大家判断两个节点是否在同一个集合，就看图中两个节点是否有绿色的粗线连着就行

（这里在强调一下，以下选边是按照上面排序好的边的数组来选择的）

选边(1,3)，节点1 和节点3 不在同一个集合，生成树添加边(1,3)，并将节点1，节点3 放到同一个集合。

选边(2,6)，节点2 和节点6 不在同一个集合，生成树添加边(2,6)，并将节点2，节点6 放到同一个集合。

选边(3,4)，节点3 和节点4 不在同一个集合，生成树添加边(3,4)，并将节点3，节点4 放到同一个集合。

选边(6,7)，节点6 和节点7 不在同一个集合，生成树添加边(6,7)，并将节点6，节点7 放到同一个集合。

选边(5,7)，节点5 和节点7 在同一个集合，不做计算。

选边(1,5)，两个节点在同一个集合，不做计算。

后面遍历边(3,2)，(2,4)，(5,6) 同理，都因两个节点已经在同一集合，不做计算。

此时我们就已经生成了一个最小生成树，即：

在上面的讲解中，看图的话大家知道如何判断两个节点是否在同一个集合（是否有绿色的线连在一起），以及如何把两个节点加入集合（就在图中把两个节点连上）

但在代码中，如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢？

并查集主要就两个功能：

将两个元素添加到一个集合中
判断两个元素在不在同一个集合

本题代码如下，已经详细注释：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// l,r为 边两边的节点，val为边的数值
struct Edge {
    int l, r, val;
};

// 节点数量
int n = 10001;
// 并查集标记节点关系的数组
vector<int> father(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}

// 并查集的查找操作
int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}

// 并查集的加入集合
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

int main() {

    int v, e;
    int v1, v2, val;
    vector<Edge> edges;
    int result_val = 0;
    cin >> v >> e;
    while (e--) {
        cin >> v1 >> v2 >> val;
        edges.push_back({v1, v2, val});
    }

    // 执行Kruskal算法
    // 按边的权值对边进行从小到大排序
    sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
            return a.val < b.val;
    });

    // 并查集初始化
    init();

    // 从头开始遍历边
    for (Edge edge : edges) {
        // 并查集，搜出两个节点的祖先
        int x = find(edge.l);
        int y = find(edge.r);

        // 如果祖先不同，则不在同一个集合
        if (x != y) {
            result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
            join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
        }
    }
    cout << result_val << endl;
    return 0;
}

时间复杂度：nlogn （快排） + logn （并查集），所以最后依然是 nlogn 。n为边的数量。

总结

Prim算法：
想象你在串珠子，你先拿起一个珠子作为起点，然后看看周围哪颗珠子离你最近，就用线把它串起来。接着，你再从这串珠子中找一个离得最远但还没串起来、并且离你最近的珠子，继续串。就这样一直串下去，直到所有的珠子都被串起来。Prim算法就是这样，每次都是选择离已有的树最近的新顶点加入。

Kruskal算法：
想象你在用一些小棒搭一座桥，这些小棒有长有短（代表不同的边权值）。你先把所有的小棒按照从短到长的顺序排好，然后从最短的小棒开始，如果用它搭桥不会形成环（比如桥已经绕回来了），那你就用它搭。接着，你继续找下一根小棒，重复这个过程，直到桥搭完，所有的顶点都连起来了。Kruskal算法就是这样，每次都是选择权值最小的边，只要它不会导致环，就加入到最小生成树中。

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