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Acwing 快速幂

article 2024/11/17 18:36:51

1.快速幂

作用：可以快速求出 $a^k mod p$ 的值，时间复杂度是 $O (l o g k) .$
核心思路：反复平方法
$①预处理出：a^{2^{0}} mod\ p、a^{2^{1}} mod\ p、a^{2^{2}} mod\ p、\dots、a^{2^{\log_{2}{k} }} mod\ p 一共log_{2}{k}个数\\ 对于这预处理出的数，观察可以发现：a^{2^{1}}=(a^{2^{0}})^2、a^{2^{2}}=(a^{2^{1}})^2、a^{2^{3}}=(a^{2^{2}})^2、\dots、a^{2^{log_{2}{k}}}=(a^{2^{log_{2}{k}-1}})^2.\\即每个数是前面一个数的平方\\ ②对于a^{k}，可将 a^{k} 拆成 a^{k} = a^{2^{x_{1}}} \times a^{2^{x_{2}}} \times \dots \times a^{2^{x_{t}}} = a^{2^{x_{1}}+2^{x_{2}}+\dots+2^{x_{t}}}\\可得到k=2^{x_{1}}+2^{x_{2}}+\dots+2^{x_{t}}\ ，即k为log_{2}{k}个数之和\\那么a^{k} mod\ p=(a^{2^{x_{1}}}mod \ d)*(a^{2^{x_{2}}}mod \ d)...(a^{2^{x_{t}}}mod \ d)\\再由①中得到的每个数是前一个数的平方，故a^{k} mod\ p=(a^{2^{x_{1}}}mod \ d)*[(a^{2^{x_{1}}}mod \ d)]^2 mod\ d\ * ...*\\(前一个结果的平方mod\ d)\\\\③对于怎么得到a^{k}=a^{2^{x_{1}}+2^{x_{2}}+\dots+2^{x_{t}}}，简单，直接取k的二进制数。\\ \\如求4^5 mod \ 10，则k=(101)_2，那么4^{5}=4^{(101)_{2}}=4^{2^{0}}\times 4^{2^{2}}\\而4^{2^{0}} mod\ 10=4，4^{2^{1}}mod\ 10=4^2 mod \ 10=6，4^{2^{2}}mod\ 10=6^2 mod \ 10=6，\\(这里就体现了后面的结果为前一个结果的平方再取模)\\得到最终结果即为4^5 mod \ 10=4*6 \ mod \ 10=4$

Acwing 875.快速幂

在这里插入图片描述
具体实现代码(详解版）：

#include <iostream> 
using namespace std; 

typedef long long LL; 

// 快速幂函数：计算 m^k % p
LL qmi(int m, int k, int p) {
    // res 初始化为 1 % p，确保即使 p == 1 也能正常工作（防止 p = 1 时除 0 错误）
    int res = 1 % p; 
    int t = m; // t 是当前的底数，从 m 开始

    // 当 k 不为 0 时，继续循环
    while (k) {
        // 如果 k 的最低位是 1，意味着当前需要将 t 乘到结果中
        if (k & 1) 
            res = (LL)res * t % p; // 计算 (res * t) % p，并更新 res

        // 无论 k 的最低位是否为 1，都要将 t 平方，并取模 p
        t = (LL)t * t % p;

        // 右移 k，去掉最低位，这相当于将 k 除以 2
        k >>= 1;
    }

    // 返回最终的结果，即 m^k % p
    return res;
}

int main() {
    int n; 
    cin >> n; 
    
    while (n--) {
        int m, k, p;
        cin >> m >> k >> p; 
        cout << qmi(m, k, p) << endl; // 输出 m^k % p 的结果
    }

    return 0;
}

2.快速幂求逆元

Acwing 快速幂求逆元

在这里插入图片描述
实现思路：

由(a/b)mod m恒等a*x mod m===>(b*x) mod m = 1 ，x为b的逆元
结合费马定理(欧拉函数的应用)：b与m互质，且m为质数，则b^(m-1) mod m=1；
上面两式结合：得b的逆元b^(m-2)，则模m乘法逆元x=b^(m-2)%m，本质上就是求快速幂，但多了一个要求：b和m互质
注意：当b和m不互质时，无解；否则必存在逆元

具体实现代码（详解版）：

#include <iostream> 
using namespace std; 

typedef long long LL; // 定义 LL 为 long long 类型，用于处理大整数

// 快速幂函数：计算 m^k % p
LL qmi(int m, int k, int p) {
    // res 初始化为 1 % p，确保即使 p == 1 也能正常工作（防止 p = 1 时除 0 错误）
    int res = 1 % p; 
    int t = m; // t 是当前的底数，从 m 开始
    
    // 当 k 不为 0 时，继续循环
    while (k) {
        // 如果 k 的最低位是 1，意味着当前需要将 t 乘到结果中
        if (k & 1) 
            res = (LL)res * t % p; // 计算 (res * t) % p，并更新 res
        
        // 无论 k 的最低位是否为 1，都要将 t 平方，并取模 p
        t = (LL)t * t % p;
        
        // 右移 k，去掉最低位，这相当于将 k 除以 2
        k >>= 1;
    }
    
    // 返回最终的结果，即 m^k % p
    return res;
}

int main() {
    int n; 
    cin >> n; 
    
   
    while (n--) {
        int m, p;
        cin >> m >> p; // 读取基数 m 和模数 p
        
        // 根据费马小定理计算 m 的模逆元，公式为 m^(p-2) mod p
        int res = qmi(m, p - 2, p);
        
        // 检查 m 是否与 p 互质（即 m % p 不为 0）
        if (m % p) 
            cout << res << endl; // 如果互质，输出结果
        else 
            puts("impossible"); // 如果不互质，输出 "impossible"
    }
    
    return 0; 
}