线性代数复习笔记

$|A|={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,...,n)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,...,n);A_{i}j=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}.$
${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}=0,i\ne k.$
副对角线: $|B_n|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{\prod }_{i=1}^n{b}_{i,n+1-i}$.
范德蒙: $|D_n|={\prod }_{1\le j\le i\le n}(x_i-x_j)$.

矩阵: $n\times n$ 方阵构成有零因子非交换环; 单位元 $|E|=1$; 零因子 $|Z|=0$.
反对称: $a_{ij}+a_{ji}=0⟹a_{ii}=0$.
转置: $a_{ij}^T=a_{ji}$; $(A+B{)}^T=A^T+B^T$; $(AB{)}^T=B^T{A}^T$.
逆元: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=E⟺|A|\ne 0$; $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$; $A^{-1}=|A{|}^{-1}{A}^{\ast }$; $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.
$[A|E]\stackrel{{\prod }_{i=1}^k{Q}_k}{\to }[E|A^{-1}]$.
伴随: $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$; $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$; $A^{\ast }=|A|A^{-1}$; $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n\ge 2)$.
正交: $A{A}^T=A^{T}A=E⟹|A|=\pm 1$, 行(列)向量均为单位向量并两两正交.

初等变换: 对换($E_{ij}$); 倍乘($E_i(k),k\ne 0$); 倍加($E_{ij}(K)$); 左乘为行变换, 右乘为列变换.
$|E_{ij}A|=|A{E}_{ij}|=-|A|$; $|E_i(k)A|=|A{E}_i(k)|=k|A|$; $|kA|=k^n|A|$; $|E_{ij}(k)A|=|A{E}_{ij}(k)|=|A|$.
等价: $A\cong B⟺\exists |P|,|Q|\ne 0$ s.t. $PAQ=B$.

秩: 非零子式最大阶数; 极大线性无关组中向量个数.
$r(A)=0⟺A=O$.
$r(A)=1⟺A\ne O$ 且任意两行(列)成比例.
$r(A{A}^T)=r(A^{T}A)=r(A)$.
$r(A_n)<n⟺|A_n|=0⟺$ 不可逆 $⟺$ 有零特征值.
$r(A_n)=n⟺|A_n|\ne 0⟺$ 可逆 $⟺$ 无零特征值.
$r(A\pm B)\le r(A)+r(B)$; r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}; max ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A ∣ B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) \max\{r(A),r(B)\}\leq r(A|B)\leq r(A)+r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A∣B)≤r(A)+r(B).
$r(A_{m\times n})=n⟹r(AB)=r(B)$.
$r(C_{n\times s})=n⟹r(BC)=r(B)$.
$A\cong B⟹r(A)=r(B)$.
$A_{m\times n}{B}_{n\times s}=O⟹r(A)+r(B)\le n$.
$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$.
$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\ne 0$ 为等维列向量 $⟹r(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T)=1$.

线性表出: { α i } i = 1 m \{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m {αi​}i=1m​, $\mathbf{\beta }$, ∃ { k i } i = 1 m \exists \{k_i\}_{i=1}^m ∃{ki​}i=1m​ s.t. β = ∑ i = 1 m k i α i    ⟺    r ( α i ) i = 1 m = r ( { α i } i = 1 m ∣ β )    ⟺    ( α i ) i = 1 m x = β \bm{\beta}=\sum_{i=1}^m k_i\bm{\alpha}_i\iff r(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m=r(\{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m|\beta)\iff(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m\bm{x}=\bm{\beta} β=∑i=1m​ki​αi​⟺r(αi​)i=1m​=r({αi​}i=1m​∣β)⟺(αi​)i=1m​x=β 有解.
$r(A)=r(A|B)>r(B)⟹$ 向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表出, 向量组 $A$ 不可由向量组 $B$ 线性表出.
向量组 $A,B$ 可互相线性表出 $⟺A\cong B⟺r(A)=r(A|B)=r(B)$.

线性无关: { α i } i = 1 m \{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m {αi​}i=1m​, 仅当 { k i } i = 1 m = 0 \{k_i\}_{i=1}^m=0 {ki​}i=1m​=0 时才有 ${\sum }_{i=1}^m{k}_i{\mathbf{\alpha }}_i=0⟺r({\mathbf{\alpha }}_i{)}_{i=1}^m=m⟺({\mathbf{\alpha }}_i{)}_{i=1}^m\mathbf{x}=0$ 仅有零解.
全体组线性无关 $⟹$ 部分组线性无关.
缩短组线性无关 $⟹$ 延伸组线性无关.
向量组 $B_t$ 线性无关, 可由向量组 $A_s$ 线性表出 $⟹s\ge t$.
向量组 $A$ 线性无关, 添加 $\mathbf{\beta }$ 后线性相关 $⟹\mathbf{\beta }$ 可由向量组 $A$ 线性表出且方式唯一.

$\mathbf{v}=A\mathbf{x}=B\mathbf{y}$.
过渡矩阵: 基 $A$ 变换为基 $B$, 有 $B=AP$.
坐标变换: 坐标 $\mathbf{x}$ 变换为 $\mathbf{y}$, 即 $\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}$.
施密特正交化: ${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$; ${\mathbf{\beta }}_i={\mathbf{\alpha }}_i-{\sum }_{j=1}^{r-1}\frac{[{\mathbf{\alpha }}_i,{\mathbf{\beta }}_j]}{[{\mathbf{\beta }}_j,{\mathbf{\beta }}_j]},i=2,3,...,r$.
单位化: ${\mathbf{\gamma }}_i=\frac{{\mathbf{\beta }}_i}{||{\mathbf{\beta }}_i||},i=1,2,...,r$.

$A\mathbf{x}=0$ 仅有零解(唯一解) $⟺r(A)=n$.
$A\mathbf{x}=0$ 有非零解(无穷解) $⟺r(A)<n$.
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解 $⟺r(A)=r(A|\mathbf{b})=n$.
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷解 $⟺r(A)=r(A|\mathbf{b})<n$.
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解 $⟺r(A)<r(A|\mathbf{b})$, 即 $r(A)=r(A|\mathbf{b})-1$.

基础解系: $A\mathbf{x}=0$ 的 $s=n-r(A)$ 个线性无关解 { ξ i } i = 1 s \{\bm{\xi}_i\}_{i=1}^s {ξi​}i=1s​; 通解 $\mathbf{x}={\sum }_{i=1}^s{k}_i{\mathbf{\xi }}_i$.
$A\mathbf{x}=0$ 的解的线性组合也为 $A\mathbf{x}=0$ 的解.
$\mathbf{\xi }$ 为 $A\mathbf{x}=0$ 的解, $\eta$ 为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解 $⟹\mathbf{\eta }+k\mathbf{\xi }$ 为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解.
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解的系数和为 $0$ 的线性组合为 $A\mathbf{x}=0$ 的解; 系数和为 $1$ 的线性组合为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解.

$A\mathbf{x}=0$ 和 $B\mathbf{x}=0$ 有非零公共解 $⟹r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)<n$.
$A\mathbf{x}=0$ 的解均为 $B\mathbf{x}=0$ 的解 $⟹r(A)\ge r(B)$.
$A\mathbf{x}=0$ 和 $B\mathbf{x}=0$ 同解 $⟹r(A)=r(B)=r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)$.

$A^{T}A\mathbf{x}=0$ 和 $A\mathbf{x}=0$ 同解.
$AB\mathbf{x}=0$ 和 $B\mathbf{x}=0$ 同解; $A$ 为列满秩.
$A_n^n\mathbf{x}=0$ 和 $A_n^{n+1}\mathbf{x}=0$ 同解.

特征值: $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$; $|A-\lambda E|=0$.
正交矩阵特征值为 $\pm 1$.
$f(A)=0⟹f(\lambda )=0$.
特征向量: $(A-\lambda E)\mathbf{x}=0$.
$k$ 重特征值至多有 $k$ 个线性无关的特征向量; 不同特征值对应的特征向量线性无关; 一个特征向量对应一个特征值; 全部线性无关的特征向量的线性组合也为该特征值的特征向量.

相似: $A\sim B⟺\exists |P|\ne 0$ s.t. $P^{-1}AP=B$.
$A\sim B⟹|A-\lambda E|=|B-\lambda E|⟹A\cong B$, $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$, $|A|=|B|$, 各阶主子式之和分别相等.
$A_n\sim \Lambda ⟺A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 此时 $P=({\mathbf{\alpha }}_i{)}_{i=1}^n$, $\Lambda =P^{-1}AP⟺A$ 的 $k$ 重特征根恰有 $k$ 个线性无关的特征向量, 即 $r(A-\lambda E)=n-k$.
$A_n$ 有 $n$ 个不同的特征值 $⟹A\sim \Lambda$.
$(A-{\lambda }_{1}E)(A-{\lambda }_{2}E)=O,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2⟹A\sim \Lambda$.

$A=P^{-1}\Lambda P⟹A^k=P^{-1}{\Lambda }^{k}P$.
$A=(\lambda E+B)⟹A^k={\sum }_{i=1}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right){\lambda }^i{B}^{k-i}$; $B^j=O$, $j\ll k$.
$A=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T⟹A^k=c^{k-1}A$, $c={\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }$.
${\lambda }^n=|\lambda E-A|Q(\lambda )+R(\lambda )⟹A^n=R(A)$.

$A$ 为实对称矩阵: $a_{ij}=a_{ji}\in \mathbb{R}$;
特征值均为实数;
不同特征值的特征向量正交;
$\exists$ 正交矩阵 $Q$ s.t. $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$, 即可正交相似对角化;
$B$ 也为实对称矩阵, A ∼ B    ⟹    { λ A } = { λ B } A\sim B\implies \{\lambda_A\}=\{\lambda_B\} A∼B⟹{λA​}={λB​}.

二次型: ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$; $A$ 为实对称矩阵.
标准形: 只含平方项.
规范形: 只含平方项, 系数只能为 $0,1,-1$.
正交变换: $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$, 即 $Q^{T}AQ=\Lambda$; 正交矩阵 $Q=({\mathbf{\gamma }}_{i=1}^n)$ 为 $A$ 特征向量的正交单位化.
配方换元: $\mathbf{x}=C\mathbf{y}$, $C$ 为可逆矩阵.

惯性定理: 标准形正负系数个数(正负惯性指数)分别等于正负特征值个数, 数量和为矩阵秩.
合同: $A\simeq B⟺\exists |C|\ne 0$ s.t. $B=C^{T}AC⟺A,B$ 的正负惯性指数分别相等.

正定: $\forall \mathbf{x}\ne O$ s.t. ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$.
$A_n$ 正定 $⟺$ 正惯性指数为 $n⟺$ 标准形平方项系数全为正 $⟺$ 特征值均大于 $0⟺$ 各阶顺序主子式均大于 $0⟺\exists |P|\ne 0$ s.t. $A=P^{T}P$, 即 $A\simeq E⟹a_{i}i>0,i=1,2,...,n$, $|A|>0$.