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【ShuQiHere】AVL 树（AVL Tree）：如何保持二叉搜索树的平衡性？

article 2024/11/20 13:22:48

【ShuQiHere】🌳

引言

在数据结构的世界里，二叉搜索树（Binary Search Tree, BST） 是一种非常常见的数据结构。虽然它允许快速的查找、插入和删除操作，但如果树变得不平衡，这些操作的时间复杂度将从理想的 O(log n) 退化为 O(n)。为了解决这个问题，AVL 树（AVL Tree） 提供了一种自平衡机制，能够通过控制树的高度来保持高效的操作性能。

AVL 树是由 Adelson-Velsky 和 Landis 于 1962 年发明的，它是第一种自平衡的二叉搜索树。本文将详细讲解 AVL 树的基本概念、插入和删除操作、旋转机制，以及它在实际应用中的意义。

1. 什么是 AVL 树？（AVL Tree）🌱

AVL 树的定义

AVL 树 是一种自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree），它的关键特性是：

每个节点的**左子树（Left Subtree）和右子树（Right Subtree）**的高度差（平衡因子，Balance Factor）不超过 1。
平衡因子的取值范围是 -1、0 和 1，如果任何节点的平衡因子超出这个范围，树就需要进行旋转操作来恢复平衡。

AVL 树的这种平衡机制能够确保所有的基本操作，如查找、插入和删除，时间复杂度都保持在 O(log n)。

平衡因子（Balance Factor）

AVL 树中，每个节点都有一个平衡因子，表示左子树与右子树的高度差。计算公式为：
[
$\text{平衡因子} = \text{左子树的高度} - \text{右子树的高度}$
]
当平衡因子为 -1、0 或 1 时，节点处于平衡状态；如果超出该范围，树需要进行调整。

例子：平衡的 AVL 树

在此 AVL 树中，每个节点的平衡因子都在 -1 到 1 之间，因此树保持平衡。

2. 插入操作：如何保持 AVL 树的平衡性？ 🌿

在 AVL 树中，插入操作的基本步骤与普通二叉搜索树相同，首先按照 BST 的规则插入节点。插入新节点后，可能会导致树失衡，此时需要通过旋转操作恢复平衡。

插入的步骤

按照 BST 规则插入新节点：找到合适位置插入新节点。
向上回溯检查平衡因子：从插入点向上检查每个节点的平衡因子，确定是否失衡。
进行旋转操作恢复平衡：根据节点失衡的情况，执行单旋转或双旋转操作恢复平衡。

四种失衡情况与旋转操作

左-左失衡（Left-Left, LL）：左子树的左子树插入新节点，执行**右旋（Right Rotation）**恢复平衡。
右-右失衡（Right-Right, RR）：右子树的右子树插入新节点，执行**左旋（Left Rotation）**恢复平衡。
左-右失衡（Left-Right, LR）：左子树的右子树插入新节点，先左旋左子树，再右旋。
右-左失衡（Right-Left, RL）：右子树的左子树插入新节点，先右旋右子树，再左旋。

代码示例：旋转操作

// 右旋转操作
public Node rotateRight(Node y) {
    Node x = y.left;
    Node T2 = x.right;

    // 执行旋转
    x.right = y;
    y.left = T2;

    // 更新高度
    y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
    x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;

    return x;  // 返回新的根节点
}

// 左旋转操作
public Node rotateLeft(Node x) {
    Node y = x.right;
    Node T2 = y.left;

    // 执行旋转
    y.left = x;
    x.right = T2;

    // 更新高度
    x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
    y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;

    return y;  // 返回新的根节点
}

例子：左-左失衡（LL）

      30                       20
     /  \                     /  \
   20   40      右旋         10   30
  /  \          ------>           /  \
10   25                         25   40

插入节点后，节点 30 的左子树变得过高，出现左-左失衡，此时需要执行右旋转操作恢复平衡。

3. 删除操作：如何在 AVL 树中恢复平衡？ ❌

删除操作相对复杂，因为删除节点可能会导致多个节点失衡。删除节点的基本步骤如下：

删除节点：按照 BST 规则找到并删除节点。
检查并恢复平衡：从删除点向上检查每个节点的平衡因子，确定是否失衡。
执行旋转操作：根据节点失衡的情况，执行相应的旋转操作恢复平衡。

删除后的旋转

删除操作后，可能会出现类似插入后的失衡，需要通过旋转操作来恢复平衡。常见的失衡情况有：

如果删除节点导致左子树比右子树高，执行右旋或双旋恢复平衡。
如果删除节点导致右子树比左子树高，执行左旋或双旋恢复平衡。

代码示例：删除操作

public Node deleteNode(Node root, int key) {
    if (root == null) {
        return root;
    }

    // BST 删除操作
    if (key < root.key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (key > root.key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    } else {
        if ((root.left == null) || (root.right == null)) {
            Node temp = (root.left != null) ? root.left : root.right;
            if (temp == null) {
                root = null;
            } else {
                root = temp;
            }
        } else {
            Node temp = minValueNode(root.right);
            root.key = temp.key;
            root.right = deleteNode(root.right, temp.key);
        }
    }

    if (root == null) return root;

    // 更新高度
    root.height = Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;

    // 检查并恢复平衡
    int balance = getBalance(root);
    if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0) {
        return rotateRight(root);
    }
    if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) {
        root.left = rotateLeft(root.left);
        return rotateRight(root);
    }
    if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0) {
        return rotateLeft(root);
    }
    if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) {
        root.right = rotateRight(root.right);
        return rotateLeft(root);
    }

    return root;
}

删除操作的例子

假设有以下 AVL 树：

删除节点 20 后，节点 30 的平衡因子变为 -2，此时需要进行右旋操作，恢复树的平衡。删除后的树结构为：

4. AVL 树的复杂度分析

AVL 树的操作在最坏情况下仍然能够保持高效，时间复杂度为 O(log n)，因为 AVL 树通过旋转操作始终保持平衡，树的高度不会超过 O(log n)。

查找（Search）、插入（Insertion） 和 删除（Deletion） 的

时间复杂度均为 O(log n)。

旋转操作的时间复杂度为 O(1)，因为旋转操作仅涉及有限个节点的调整。

虽然 AVL 树的插入和删除操作比普通 BST 略复杂，因为需要进行旋转操作，但其自平衡机制带来的性能提升弥补了这一额外开销。

5. AVL 树的应用场景

由于 AVL 树能够在最坏情况下提供 O(log n) 的操作效率，因此它在以下应用场景中非常有用：

数据库索引（Database Indexing）：AVL 树的快速查找、插入和删除操作使其成为构建数据库索引的理想选择。
内存管理（Memory Management）：操作系统中使用 AVL 树来管理内存分配，确保高效的内存操作。
文件系统（File System）：AVL 树能够管理文件系统中的目录结构，提供快速的文件查找与更新。

结论：AVL 树的优势与局限性 🌟

AVL 树通过引入旋转操作和严格的平衡性检查，确保树的高度始终保持在 O(log n)，使得所有操作的时间复杂度保持在 O(log n)。这使得 AVL 树成为一种高效的自平衡二叉搜索树，特别适合动态数据管理场景。尽管 AVL 树的插入和删除操作较普通 BST 复杂，但其带来的平衡性保证了更优的性能。在许多应用中，AVL 树是构建高效数据结构的理想选择。

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