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信息安全数学基础（23）一般二次同余式

article 2024/10/1 8:51:13

前言

信息安全数学基础中的一般二次同余式是数论和密码学中的一个重要概念，它涉及到了二次方程、模运算以及同余关系等多个方面。

一、定义

设m是正整数，a,b,c是整数，且a=0，则形如ax2+bx+c≡0(modm)的同余式称为模m的二次同余式。如果该同余式有解，则称其为可解的，否则称其为不可解的。

二、判别式与解的个数

对于一般二次同余式ax2+bx+c≡0(modm)，我们可以先计算其判别式Δ=b2−4ac。

当Δ<0时：二次同余式不可解，因为不存在实数解使得等式成立。

当Δ=0时：二次同余式有一个解。此时，解可以通过公式x=−2ab（并取模m的结果）得到。但需要注意的是，由于模运算的特性，我们通常需要找到该解在模m下的最小正整数表示。

当Δ>0时：二次同余式有两个解。此时，解可以通过公式x1,2=2a−b±Δ（并取模m的结果）得到。同样地，由于模运算的特性，我们需要找到这两个解在模m下的最小正整数表示。

三、解的性质

周期性：如果x是二次同余式的一个解，那么x+km（其中k是任意整数）也是该同余式的一个解。因此，我们通常只考虑最小正整数解或最简化剩余系中的解。

解的个数与模数的关系：解的个数不仅与判别式Δ有关，还与模数m的因子分解有关。特别地，当m是一个素数时，解的个数直接由判别式Δ决定；而当m是合数时，情况会变得更加复杂。

四、特殊情况：模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

当模数p是一个奇素数时，我们可以进一步讨论二次同余式x2≡a(modp)的解的性质。此时，如果同余式有解，则称a为模p下的平方剩余；否则称a为模p下的平方非剩余。

欧拉判别条件：当p是一个奇素数且(a,p)=1时（即a和p互素），如果a2p−1≡1(modp)，则a是模p下的平方剩余；如果a2p−1≡−1(modp)，则a是模p下的平方非剩余。这个条件可以用来快速判断一个数是否是模p下的平方剩余或平方非剩余。

平方剩余与平方非剩余的乘积：如果a1和a2都是模p下的平方剩余（或平方非剩余），那么它们的乘积a1a2也是模p下的平方剩余；如果a1是模p下的平方剩余而a2是模p下的平方非剩余（或反之），那么它们的乘积a1a2是模p下的平方非剩余。