软考系统分析师知识点三：应用数学

前言

今年报考了11月份的软考高级：系统分析师。

考试时间为：11月9日。

倒计时：34天。

目标：优先应试，其次学习，再次实践。

复习计划第一阶段：扫平基础知识点，仅抽取有用信息，可有缺失，但得过眼。

第二章下：应用数学

这部分内容比较繁杂，仅对其概念和公式做一些总结，不对具体解法和过程做过多深入。

2.7 - 2.12

内容总结

2.7 概率论与数理统计

• 古典概率：事件发生的概率是该事件发生的次数与总试验次数的比值，公式为 $$P(A)=\frac{m}{n}$$

• 概率的基本性质：

  • 空集的概率为0：$$P(\varnothing )=0$$
  • 样本空间的概率为1：$$P(\Omega )=1$$
  • 任何事件的概率介于0和1之间：$$0\le P(A)\le 1$$
  • 事件的补概率是1减去该事件的概率：$$P(\bar{A})=1-P(A)$$
  • 事件A不包含B的概率等于A的概率减去A与B交集的概率：$$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$$
  • 如果B是A的子集，则A减去B的概率等于A的概率减去B的概率：$$P(A-B)=P(A)-P(B)$$

• 条件概率与独立性：

  • 条件概率是在事件A发生的条件下事件B发生的概率：$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
  • 两个事件独立意味着它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积：$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

• 全概率公式：用于计算事件A发生的概率，通过将样本空间划分为几个互斥事件并利用条件概率计算：$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$

• 贝叶斯公式：用于在已知某些条件下事件发生概率的情况下，反过来计算事件发生后某些条件成立的概率：$$P(B_k|A)=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$$

• 伯努利二项概率公式：描述了在固定次数的独立实验中，成功k次的概率：$$P_n(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

• 随机变量及其分布：

  • 离散型随机变量：每个可能的取值对应一个概率：$$p_k=P(\xi =x_k)$$
  • 连续型随机变量：概率分布由密度函数描述，分布函数给出了随机变量小于等于某值的概率：概率密度函数 p(x) ，分布函数 $$F(x)=P(\xi \le x)$$

• 数字特征：

  • 数学期望：随机变量的平均值或中心点：$$E\xi =\sum _k{x}_k{p}_k$$（离散型）或 $$\int xp(x)dx$$（连续型）。
  • 方差：衡量随机变量取值分散程度的度量：$$D\xi =E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$$

• 常用分布：

  • 0-1分布：只有两种可能结果的随机试验，成功的概率为 $$p：p_k=(1-p,p)$$
  • 二项分布：重复n次的伯努利试验中成功k次的概率：$$p_k=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
  • 泊松分布：描述稀有事件在固定时间或空间内发生次数的概率分布：$$P(\xi =k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$
  • 均匀分布：随机变量在某个区间内任意取值是等可能的：$$p(x)=\frac{1}{b-a}(对a\le x\le b)$$
  • 标准正态分布：均值为0，方差为1的正态分布：$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

2.8 图论应用

• 最小生成树：

  • 普里姆算法：从一个顶点开始，逐步添加边以覆盖所有顶点，形成最小权重和的树。
  • 克鲁斯卡尔算法：按边权重递增顺序选择边，构建最小生成树。

• 最短路径：

  • 迪杰斯特拉算法：计算有向带权图中单个源点到其他所有顶点的最短路径，使用松弛操作更新最短路径估计。
  • 弗洛伊德算法：计算图中每一对顶点间的最短路径，使用动态规划。

• 网络最大流量：

  • 寻找从源点到汇点的最大流量，考虑容量限制和流量守恒，通常使用 Ford-Fulkerson 算法或 Edmonds-Karp 算法。

2.9 组合分析

• 排列组合：研究对象是排列和组合问题，以计数基本原理为前提。
• 计数原理：包括乘法原理和加法原理。
• 排列：从n个不同元素中选取r个元素考虑顺序的排列方式，记为 $$P_n^r$$
• 组合：从n个不同元素中选取r个元素不考虑顺序的组合方式，记为 $$C_n^r$$

2.10 算法的选择与应用

• 算法定义：为解决问题而设计的步骤和方法。
• 算法效率：衡量标准包括正确性、可靠性、易理解性及时间和空间复杂度。
• 非数值算法：用于查找、排序等操作。
• 数值算法：用于求解数学问题，如方程根、定积分、微分方程等。

2.10.1 非数值算法

• 查找算法：包括顺序查找、折半查找、分块查找、哈希查找。
• 排序算法：包括插入排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、希尔排序、堆排序、归并排序、外排序。

2.10.2 数值算法

• 误差分析：包括模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差、过失误差、绝对误差、相对误差。

2.11 运筹方法

2.11.1 网络计划技术

• CPM: 找关键路径，优化项目工期。
• PERT: 评估风险，计算期望工期。

2.11.2 线性规划

• 目标: 最大化或最小化目标函数。
• 方法: 图解法、单纯形法。

2.11.3 决策论

• 类型: 战略、策略、执行。
• 准则: 悲观、乐观、折中、后悔值。

2.11.4 对策论

• 要素: 局中人、策略集、赢得函数。
• 分类: 二人、多人、零和、非零和。

2.11.5 排队论

• 组成: 输入过程、排队规则、服务机构。
• 模型: M/M/1、D/M/c。

2.11.6 存贮论

• 目的: 研究原料、产品、供销存贮。
• 策略: (T, Q)、(s, S)、(T, s, S)。

2.12 数学建模

• 定义：用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的过程。

• 建模过程：

  1. 模型准备：了解问题背景，明确实际意义。
  2. 模型假设：根据特征和目的进行合理简化。
  3. 模型建立：利用数学工具刻画变量间的数学关系。
  4. 模型求解：使用数据对模型参数进行估计。
  5. 模型分析：对模型结果进行数学分析。
  6. 模型检验：比较模型结果与实际情况，验证模型准确性。
  7. 模型应用：根据问题性质和目的进行实际应用。

• 建模方法：

  • 直接分析法：基于问题机理直接构造模型。
  • 类比法：模仿已知模型构建新模型。
  • 数据分析法：通过大量数据进行统计分析建模。
  • 构想法：对可能发生情况给出合理设想，构建并修正模型。

• 数学模型组成：

  • 目标函数：评价准则，可能包括多目标。
  • 约束条件：包括等式和不等式，表示问题的局限性。
  • 随机因素：表示模型中的不确定性。

不常见概念

太多，根本看不完，全部都不常见，好像又都常见

(T, Q)策略

• 含义: 固定时间间隔T补充固定数量Q的库存。
• 应用场景: 当需求量相对稳定且容易预测时使用。
• 操作: 每当库存量下降到特定水平时，就进行固定批量的补货。

(s, S)策略

• 含义: 当库存水平下降到s(最低库存量)时，进行补货至S(最高库存量)。
• 应用场景: 需求难以预测或库存成本较高时使用。
• 操作: 补货不是周期性的，而是依赖于当前库存水平相对于预定的阈值。

(T, s, S)混合策略

• 含义: 结合时间间隔T和库存水平s和S的补货策略。
• 应用场景: 适用于需求波动较大的情形。
• 操作: 定期检查库存(周期为T)，如果库存水平低于s，则补货至S。

M/M/1 模型

• 含义: 一种排队论模型，表示顾客到达和服务时间都服从指数分布（Markovian)，有一个服务台，没有排队容量限制。
• 参数:
  • λ (lambda): 平均到达率，即单位时间内到达的顾客数。
  • μ (mu): 平均服务率，即单位时间内服务台能服务的顾客数。
• 应用场景: 适用于银行柜台、电话呼叫中心等场景。

D/M/c 模型

• 含义: 一种排队论模型，表示顾客到达时间是确定的（Deterministic），服务时间服从指数分布，有c个服务台。
• 参数:
  • D: 到达时间间隔为固定值。
  • M: 服务时间服从指数分布。
  • c: 服务台数量。
• 应用场景: 适用于多个服务台处理固定间隔到达的顾客，如工厂流水线、多通道收费站等。

写在最后

应用数学里面的概念、理论、内容都太多，复杂度高，可以酌情抛弃一部分。

以上均为粗看教程的总结，目的不是为了百分之百准确，而是为了过手过脑，有所印象。

但是如有发现谬误，感谢各位随时指出。

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