算法：前缀和算法模版

一维前缀和

题目

链接：一维前缀和模版题

思路分析

一：暴力O(q * N)
对于每一次询问，我们都可以用一个循环计算[l,r]区间内的元素和，
时间复杂度，O(q * N)

每一次计算一个区间都需要去循环一次，这是不是非常的麻烦呢？
我们能不能想一个办法把这个某个区间的和给存起来呢？进行反复利用呢？

所以，就优化出了，前缀和算法

二：前缀和O(q + N)

我们可以预处理出一个dp数组，来存放[1,i]的区间的元素和

当我们需要求区间[l,r]的元素和的时候，就可以用dp[r] - dp[l - 1]
这样每次查询的时候，时间复杂度就是O(1)

那么我们怎么去预处理出这个dp数组呢？
我们可以用递推的思想，前n个元素的和等于前n-1个元素的和加上第n个元素的和
所以，dp[i[ = dp[i - 1] + arr[i]

细节：
这里的下标是从1，开始，如果从0开始需要对dp[0]特殊处理一下。

代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n ,q;
    cin >> n >> q;

    vector<int> a(n+1);
    vector<long long> dp(n+1);

    for(int i = 1;i < n + 1;i++)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = dp[i-1] + a[i]; 
    }

    while(q--)
    {
        int l,r;
        cin >> l >> r;
        cout << dp[r] - dp[l-1] << endl;
    }

    return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")

二维前缀和

题目

链接：二维前缀和模版题

思路分析

暴力的时间复杂度是O(q * n²)，很容易想，就不多叙述了。
直接讲一下二维前缀和算法的思路。

二维前缀和与一维前缀和类似，都是采用拼接的思路。
我们先预处理出来一个dp数组，用来存放从[1,1]到[i，j]这个矩阵内的元素和。

来，我们抽象出来一个矩阵，从[1，1]到[i，j]

如何去求这个区间的和呢？
很明显A + B + C + D对吧
但是B 和 C都不好求啊，
诶嘿，来，试试小学几何题常用的割补法。
我们可以将A+B看成一个整体，将A+C看成一个整体
那么A+B+C+D = （A+B）+（A+C）- A + D
具象到代码就是
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + arr[i][j]

好，预处理完dp数组后，我们如何去使用dp数组去求任意一个矩阵的元素和呢？

假设我们就需要求D区间的元素和（假设左上顶点是x1,y1,右下顶点是x2,y2）
很容易想到的是，(A+B+C+D) - （A+B+C）
但是，和之前一样，B和C区间处理不了，依然采用割补法。
D = (A+B+C+D) - (A+B) - (A+C) + A
具象到代码就是
answer = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]

此时的时间复杂度是O(N² + q)

细节：下标也是从1开始，dp数组多开一个空间，开到n+1，m+1
如果下标是从0开始，需要对边界情况进行特殊处理

代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n,m,q;
    cin >>n >> m>> q;
    vector<vector<int>> a(n+1,vector<int>(m+1));
    vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));

    for(int i = 1;i<n+1;++i)
    {
        for(int j = 1;j< m+1;++j)
        {
            cin >> a[i][j];
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }

    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >>y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] << endl;
    }

    return 0;
}

国庆节结束了，我又回来啦，hhh，
继续更新！！！