【数学二】一元函数积分学-不定积分与定积分的计算-6个有用得定积分公式
考试要求
1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式.
5、了解反常积分的概念，会计算反常积分.
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.
不定积分与定积分的计算
有用得定积分公式
1、 ∫ 0 a a 2 − x 2 d x = π a 2 4 ， ∫ − a a a 2 − x 2 d x = π a 2 2 \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}，\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{2} ∫0aa2−x2dx=4πa2，∫−aaa2−x2dx=2πa2
2、设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − a , a ] ( a > 0 ) [-a,a](a>0) [−a,a](a>0)上是个连续的偶函数，则 ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
3、设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − a , a ] ( a > 0 ) [-a,a](a>0) [−a,a](a>0)上是个连续的奇函数，则 ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \int_{-a}^a f(x)dx=0 ∫−aaf(x)dx=0
4、设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − ∞ , + ∞ ] [-\infty,+\infty] [−∞,+∞]内是以 T T T为周期的连续函数，则对于任意的常数 a a a，恒有 ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x ; ∫ a a + n T f ( x ) d x = n ∫ 0 T f ( x ) d x ( x ∈ N ) \int_a^{a+T} f(x)dx=\int_0^T f(x)dx ;\quad\int_a^{a+nT} f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx(x \in N) ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx;∫aa+nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx(x∈N)
5、华里士公式： ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 2 ⋅ π 2 ，当 n 为正偶数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 2 3 ，当 n 为大于 1 的奇数 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}，当n为正偶数 \\ \quad \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots\cdot \frac{2}{3}，当n为大于1的奇数 \end{cases} ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=⎩ ⎨ ⎧nn−1⋅n−2n−3⋅⋯⋅21⋅2π，当n为正偶数nn−1⋅n−2n−3⋅⋯⋅32，当n为大于1的奇数
6、 ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx
练习1：
∫
−
π
2
π
2
(
x
3
+
sin
2
x
)
cos
2
x
d
x
=
\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(x^3+\sin^2x)\cos^2xdx=
∫−2π2π(x3+sin2x)cos2xdx=
解： ∫ − π 2 π 2 ( x 3 + sin 2 x ) cos 2 x d x = ∫ − π 2 π 2 x 3 cos 2 x d x + ∫ − π 2 π 2 sin 2 x cos 2 x d x x 3 cos 2 x 在 [ − π 2 , π 2 ] 上是个连续的奇函数，则 ∫ − π 2 π 2 x 3 cos 2 x d x = 0 sin 2 x cos 2 x 在 [ − π 2 , π 2 ] 上是个连续的偶函数，则 ∫ − π 2 π 2 sin 2 x cos 2 x d x = 2 ∫ 0 π 2 sin 2 x cos 2 x d x 2 ∫ 0 π 2 sin 2 x cos 2 x d x = 2 ∫ 0 π 2 1 − cos 4 x 8 d x = 2 x 8 ∣ 0 π 2 − sin 4 x ∣ 0 π 2 = π 2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(x^3+\sin^2x)\cos^2xdx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}x^3\cos^2xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\sin^2x\cos^2xdx \\ \quad \\ x^3\cos^2x在[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]上是个连续的奇函数，则\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}x^3\cos^2xdx=0 \\ \quad \\ \sin^2x\cos^2x在[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]上是个连续的偶函数，则\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\sin^2x\cos^2xdx=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2x\cos^2xdx \\ \quad \\2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2x\cos^2xdx=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1-\cos 4x}{8}dx \\ \quad \\ =\frac{2x}{8}|_0^\frac{\pi}{2}-\sin 4x|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} ∫−2π2π(x3+sin2x)cos2xdx=∫−2π2πx3cos2xdx+∫−2π2πsin2xcos2xdxx3cos2x在[−2π,2π]上是个连续的奇函数，则∫−2π2πx3cos2xdx=0sin2xcos2x在[−2π,2π]上是个连续的偶函数，则∫−2π2πsin2xcos2xdx=2∫02πsin2xcos2xdx2∫02πsin2xcos2xdx=2∫02π81−cos4xdx=82x∣02π−sin4x∣02π=2π