量纲分析的巅峰之作：Taylor点源爆炸模型产生始末

在文章 量纲分析的几个典型例子 中我们讨论了量纲分析的基本思想和原则。本文回顾力学家泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886—1975）应用量纲分析估算原子弹爆炸能量始末。这是一种简化问题提取精华的艺术。 后来被学者称为（“点爆炸理论”（point explosion theory）），这是空中核爆炸波传播规律的一种理论，适用于爆炸波阵面上的压力尚未衰变到数十倍大气压力以前的一个较大的范围。

1940s，英国科学家GI Taylor（GI 泰勒）在得知可能发明一种由原子核裂变放出巨大能量的炸弹的消息后，巧妙地运用量纲分析的方法，认为在空中爆炸波的强度足够高的范围内，可忽略弹体的尺寸和大气环境压力的影响，把问题理想化为能量在一个点上的突然爆发。他在一篇研究报告中提出了点源强爆炸波理论，给出了空中爆炸波的传播规律及其引起的运动场的自相似解，导出了冲击波传播距离与时间的关系。

1. 引子：相似律和量纲分析

术语 Scaling 描述了一个非常简单的现象，即变量$x$ 和 $y$ 之间存在幂律：
$$y=A{x}^a$$

式中$A,a$是系数。上述关系经常在数学、物理、力学、经济学、生物学中出现，这种现象不是偶然的而是一种普遍规律，称为 Scaling Laws（尺度律）。尺度律给出了一个重要性质，即 Sellf-similarity（自相似）。自相似允许我们实现在不同时间、空间尺度上的相同物理实验。

相似律为实验室测试提供了理论支撑，允许科学家在实验室尺度模拟现实尺度现象，例如风洞就是相似律的重要应用。而相似律的建立需要根据无量纲数，这建立在量纲分析理论基础上。

2. 历史回顾

本文关于该历史故事的追溯，主要参考了 Barenblatt（2003，Pages 1-4）。

故事始于1940s初秋，那段日子是难熬的，在第二次世界大战中的不列颠之战最糟糕的日子里。雅典娜的George Thomson 教授要求剑桥大学 Geoffrey Ingram Taylor 教授邀请参加商务午宴。彼时，Thomson 教授刚被任命为 MAUD委员会主席，即 Military Application of Uranium Detonation （MAUD）。他告知 Taylor 存在一种通过核裂变（unclear fission）释放大量能量的炸弹，即原子弹（atomic bomb），这是Taylor未曾听说过的一种东西。

他们遇到了难题，其中的一个重要问题是：但这种爆炸产生时，会发生什么力学效应（mechanical effects）？先按下不表。

这个午宴过后一段时间不久，美国著名爆炸学家 GB Kistyakovsky提交了一份绝密报告，报告中指出：即使原子弹能够成功制造并引爆，但是预期的爆炸威力可能远小于预期，原因是大部分能量将以辐射（radiation）的方式耗散。后来，1960s，RW Clark 在他的回忆录中说，当时整个英国能够解决这个问题的只有一个人，他就是GI Tayolr。

3. Taylor的初步思考

泰勒需要对原子弹爆炸的周围气体（ambient gas）运动进行计算，他很清楚，爆炸后在极其短的时间内，将出现强冲击波（intense shock wave），即我们熟知的静止空气（quiescent air）中的热波传播（thermal-wave propagation）。他假设空气呈现球状对称（spherically symmetric），这个假设被实验的照片所证实，见下图（图来源于 Barenblatt, 2003）。

泰勒通过他的物理直觉，对核爆炸中间阶段（intermiddle stages）的分析表明（Barenblatt, 2003, Page 1）：强冲击波在空气中传播时可忽略黏性（viscous effect），且冲击波内的气体视为绝热的（adiabatic）。根据数学物理知识，应建立数学模型如下：

• 在冲击波内，建立如下微分方程（即控制方程）：质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程

• 在冲击波波阵面上，还需要建立如下条件（即边界条件）：质量守恒条件、动量守恒条件、能量守恒条件

• 相应的初值条件，例如爆炸瞬间极短时间内的空气密度、空气压力、空气速度等。

4. 瓶颈的解决

上述所建立的数学模型实际上是不可能给出解析解的，因为初始条件、物质材料参数均未知，重要的是没有人能够知道爆炸瞬间极短时间内的空气密度、空气压力、空气速度等。

然而，泰勒是充满智慧的人，他仅作一点修改就可简化问题，这种看穿本质的能力是令人折服的。他只需几步就将问题转化成了他能力范围内可解的形式，他的这种简化，使得在求解中不需要事先测量空气密度、空气压力、空气速度等难以获取的物理量。他做了如下几步简化：

• 考虑一个理想化的问题，他认为问题可视为有限的能量（finite amount energy）以一种无限集中的方式（infinitely concentrated form）释放。这意味着冲击波的初始半径（记为$r_0$）为0。于是问题简化为能量从一个点源急剧释放，即点源能量释放。在爆炸的中间阶段，冲击波半径$r_f\gg r_0$，因此可视为初始时刻$r_0\approx 0$。这种处理方式的好处是，如果简化初始时刻$r_0\approx 0$，则此时空气的密度、速度、压强等均可视为0。这极大简化了问题。
• 爆炸的中间阶段，泰勒在还认为，冲击波波阵面处的大气压强$p_0$可忽略，因为在爆炸的中间阶段，运动到波阵面的冲击波气体压强远大于大气压强。

这就是泰勒简化提炼问题精髓的艺术。实际上他通过这两部简化，省去了初边值条件的困难。

5. 第一个问题：冲击波半径变化规律

泰勒要解决的第一个问题是：冲击波半径$r_f$在爆炸后如何变化，与什么物理量有关？他指出如下量及其量纲（单位采用厘米cm、秒s、克g）：
（1）集中于 $r_0$ 内的总能量 $E$ （total explosion energy），$[E]=\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{g}=L^2{T}^{-2}M$；
（2）气体初始密度 ${\rho }_0$ （initial density of the ambient air），$[{\rho }_0]=\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{g}=M{L}^{-3}$；
（3）从爆炸发生开始计算的时间 $t$ (time from the moment of explosion)，$[t]=\mathrm{s}=T$；
（4）冲击波初始半径 $r_0$ （initial radius of the shock wave），$[r_0]=\mathrm{cm}=L$；
（5）气体初始压强 $p_0$（initial pressure of the ambient air），$[p_0]=\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{g}=L^{-1}{T}^{-2}M$；
（6）绝热系数（adiabatic index）$\gamma$，无量纲，实际上就是一个系数而已，通过实验确定，它的角色与单摆周期中的$k^{\prime }$相似（参考文章 量纲分析的几个典型例子 第2节）。

这里有个思考：为什么选取这几个物理量，为什么没考虑速度、应力等因素？

最核心的物理量是前五个$E,t,p_0,{\rho }_0,r_0$。实际上泰勒通过简化忽略了 $r_0,p_0$ （均等于0）达到他分析目的。然而我们会感到困惑，$r_0,p_0$是确确实实存在的物理量，而且对整个爆炸过程有重要影响，为什么泰勒将它们忽略？实际上，泰勒的原始本版的假设是：在爆炸中间阶段（intermiddle stages）产生显著力学效应时，气体运动在变换 $r_0=\lambda r_0,p_0=\mu p_0$ 下保持不变。其中$\lambda ,\mu$是任意正数，Barenblatt（2003，P4和第5章）从变换群的角度给出了解释，本文省略。

接下来，泰勒引入具有长度量纲$[L]$的物理量（可以用单位cm, m, 等表示）：
$$R={\left(\frac{E{t}^2}{{\rho }_0}\right)}^{1/5}$$

这里有个思考：如何导出的这个关系式？

可看出 $R$ 与是通过上述5个基本物理量表达的。将其除以$r_f$进行无量纲化：
$$I=\frac{r_f}{R}$$

因此$I$与$r_f$在函数关系上是等价的，即影响 $I$ 的变量也是影响 $r_f$的变量：
$$I=\frac{r_f}{R}=F(R,{\rho }_0,t,\gamma )(5)$$

根据前述的简化讨论，泰勒在式中略去了$r_0,p_0$。我们将在接下来看到这种处理带来的巨大方便。

经过分析（Barenblatt, 2003, P5），泰勒认为$F$（式5）是依赖于$\gamma$的函数，这就是著名的泰勒冲击波半径尺度律（scaling law）：
$$r_f=C(\gamma ){\left(\frac{E{t}^2}{{\rho }_0}\right)}^{1/5}(6)$$

或写为对数形式：
$$\frac{5}{2}{\log }_{10}{r}_f=\frac{5}{2}{\log }_{10}C+\frac{1}{2}{\log }_{10}\frac{E}{{\rho }_0}+{\log }_{10}t(6^{\prime })$$

随后泰勒对 JE Mack 于1945年7月在新墨西哥州拍摄的第一颗原子弹爆照照片进行处理，做出 $\frac{5}{2}{\log }_{10}{r}_f\sim {\log }_{10}t$ 曲线图,，成功地验证了他的尺度律。他将系数取为 $\gamma =1.4,C=1.033$。

泰勒于1941年6月25日提交了他的论文，彼时另一位科学家冯诺依曼也参与到原子弹研究中，也被问到了与泰勒相同的问题，冯诺依曼于1941年6月30日提交了他的论文，他注意到了在常微分方程中存在的一个能量积分。这个解答也被谢多夫于1946年报道。

KG Guderley 在1942年提出了一个与点源爆炸相关的镜像问题，即内爆问题（implosion problem），这在Landau和Lifshitz的流体力学中有详细讨论。

参考资料

• 原始文章：Taylor GI, 1941. The formation of a blast wave by a very intense explosion. Report RC-210. Civil Defence Research Committee.
• Sedov LI, 1946. Propagation of strong shock waves. Prikl Mat Mekh. 10, 241-250.
• von Neumann J, 1941. The point source solution. Div B Report AM-9. National Defence Research Committee.
• 内爆问题（原文为德语）：Guderley, K.G., 1942. Starke kugelige und zylindrische verdichtungsstosse in der nahe des kugelmitterpunktes bnw. der zylinderachse. Luftfahrtforschung, 19, p.302.
• 主要参考（Pages 1-11）：Barenblatt, G.I., 2003. Scaling (Vol. 34). Cambridge University Press.
• 其它参考文章可参考此文章的文末：量纲分析的几个典型例子