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计算机的错误计算（一百二十七）

article 2024/10/23 17:12:14

摘要四个算式“sin(0.00024/2)^2”、“(1-cos(0.00024))/2”、“(1-sqrt(1-sin(0.00024)^2))/2”以及“sin(0.00024)^2/(2+2*sqrt(1-sin(0.00024)^2))”是等价的。但是它们的结果不完全一致。第四个算式是最复杂的、运算最多的，但是其结果最精确。

例1. 已知

$\displaystyle{f(x)=\sin^2(\frac{1}{2}x) = \frac{1}{2}\big{(}1-\cos(x)\big{)} = \frac{1}{2}\Big{(}1-\sqrt{1-\sin^2(x)} \,\Big{)}= \frac{\sin^2(x)}{2+2\sqrt{1-\sin^2(x)}}\,^{[1]}}\,,$

其中 ${x\in(0,\frac{\pi}{2})}\,.$ 用上述四个算式依次计算 $f(0.00024)\,.$

不妨在Python下计算，则有

若在Visual Studio 2010下用C语言编程计算：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
void main() {
    double x = 0.00024;
    double sin_half_x = sin(x / 2), cos_x = cos(x);
    double sin_x_squared = sin(x) * sin(x);
    double sqrt_1_minus_sin_x_squared = sqrt(1 - sin_x_squared);

    double result1 = sin_half_x * sin_half_x;
    double result2 = (1 - cos_x) / 2;
    double result3 = (1 - sqrt_1_minus_sin_x_squared) / 2;
    double result4 = sin_x_squared / (2 + 2 * sqrt_1_minus_sin_x_squared);
    printf("%.24lf,  %.24lf,  %.24lf,  %.24lf", result1, result2, result3, result4);
}

则运行后的输出与Python的输出完全等价：0.000000014399999930880002, 0.000000014399999914704864, 0.000000014399999914704864, 0.000000014399999930880000 .

事实上，17位的正确结果为 0.14399999930880000e-7（ISRealsoft 提供）。这样，二者的输出中，有效数字的错误率均依次为 1/17 = 5.9% , 8/17 = 47.1% , 8/17 = 47.1% , 0/17 = 0% .

点评：（1）最复杂的，运算最多的，最精确！这与传统的认识相悖（可参看（五十三））。

（2）等价表达式的计算结果不等价（可参看（十三））。

（3）还是用 ISRealsoft 吧。

参考文献

[1] Ward Cheney, David Kincaid. Numerical Mathematics and Computing. 6th Ed. CA: Thomson Higher Education, 2008, p, 37

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http://www.kler.cn/news/361841.html