图像变换的知识
一 图像变换目的与用途
图像变换的目的主要有以下三点：
① 使图像处理问题简化；
② 有利于图像特征提取（我们知道特征提取的目的是为了对影像进行分析，根据特征从影像中提取目标等有用信息，特征提取对从影像中提取目标非常重要）；
③ 有助于从概念或者物理上增强对图像信息的理解。
图像变换其实就是对图像的另外一种表达，正如我们可以将一个函数分解表示为奇偶函数、直流分量和交流分量、一系列不同系数的正交函数和等多种方式一样。图像变换通常采用的是一种二维正交变换。根据刚才提到的图像变换目的，对图像进行正交变换一般有如下三点要求：
① 正交变换必须是可逆的。因为变换域的特征表现形式与空间域不同，我们通常需要在变换域对图像处理后再将其变换到空间域进行表达显示，这样更符合我们目视习惯；
② 正变换和反变换的算法不能太复杂，计算量不能太大，否则就失去了简化图像处理的意义了。
③ 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘等灰度变化明显区域反映在高频率成分上，从而有利于图像处理。
正交变换被广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面，这些应用在我们后面的讲述中将有介绍。
这里我们主要讨论被广泛应用的傅立叶变换 ，它是将图像从空间域变换到频率域的一种变换。首先我们开始介绍傅里叶变换的定义。
二 傅里叶变换的定义
1、傅里叶变换的理论基础与基本定义
首先我们来认识一下傅里叶变换的理论基础，法国数学家、物理学家傅里叶在1811年任一函数都可以展成三角函数的无穷级数，由此引出的傅里叶级数展开中指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式，每个正弦和/或余弦乘以不同的系数（即傅里叶级数展开）。在信号的傅立叶级数展开中，如果一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，那么在[-T/2,T/2]内可以将函数f(t)展开为无穷个正交三角函数的和，如下式所示：周期为大写T 函数f(t)被展开表示成了无穷多个不同频率的三角函数的加权和，an 和bn 即为权重系数。
根据欧拉公式
上面的三角函数形式可以转换成复数如下形式
其中，
每个nw 就代表一个频率分量，不同的n 代表不同的频率，Cn 为每个频率分量的系
数，代表各频率分量的权重。可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组
成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。
通过上面的分析，可以将傅里叶变换形象地比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解
为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以
看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的
光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
三 连续函数的傅立叶变换
早期在没有进入数字化信号处理时代的时候，得到的信号都是连续信号，比如传感
器检测到的声音、电流、电压等，因此，首先定义了连续信号的傅里叶变换。
图像作为一个特殊的二维空间信号，可以看做是一维信号的组合，因此，我们首先
来认识一维傅里叶变换及其反变换。
• 一维连续傅里叶变换及反变换
令f(x)为实变量x 的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，则其定义式为
若已知F(u)，则傅立叶反变换为
上面两个正反变换公式称为傅立叶变换对
通常情况下，实际信号f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。因此，F(u)
可以表示成实部和虚部的形式或者振幅和相位的形式，以及通过F(u)来表示信号的能量，同样根据欧拉公式
具体表示如下：
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
四 二维连续函数的傅立叶变换
一维傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续可积的，且F(u，v)是可
积的，则二维傅立叶变换对为
二维函数的傅立叶变换的幅度、相位和能量谱分别为
五 离散函数的傅立叶变换
根据奈奎斯特抽样定理，以及大家前面学到的图像的数字化可以知道，连续信号可以
按等间隔抽样变为离散信号，这样就便于计算机处理。这里我们用f(n)来表示一维连续信号离散化后的序列，f(m,n)来表示二维连续信号的离散化。
1 一维离散函数的傅立叶变换
假设序列f(n)的长度为N，则离散信号的傅立叶变换定义式为
2 二维离散函数的傅立叶变换
在二维离散的情况下，比如大小为M×N 的图像信号f(m,n)的傅立叶变换对表示为
这里的u 和v 是频率变量，m 和n 是空间变量。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，特别是对于大幅面的遥感影像，不直接利用以上公式计算，而是采用快速傅立叶变换算法（FFT，Fast Fourier Transform），快速傅里叶变换大大减少了计算量，通过软件编程或者专门的硬件来实现，这也正是傅里叶变换得到更广泛应用的原因之一。二维离散傅里叶变换的极坐标表示为：
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
相位谱为
功率谱为
从二维傅里叶变换的定义式知道，一个M行N列的二维图像的傅里叶变换结果也是一个M*N大小的二维矩阵，与原空间域图像像素坐标对应，频率域图像的左上角坐标也为（0,0），该坐标处的值F(0,0)根据傅里叶变换的定义式可以得到，
因此，傅里叶变换的原点值反映了图像的平均灰度，即平时信号理论中所说的直流分量。
存储DFT结果的二维数组中频率成分的分布，如上图所示，即数组的左上角相当于直流部分，左上、右上、左下、右下各角的周围对应低频成分，数组中央部分附近对应于高频成分。
离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律（性质）对图像进行分析与处理。