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双线性插值（Bilinear Interpolation）的介绍

article 2025/2/2 0:46:35

1. 线性插值

（1）(单)线性插值是学好双线性插值的基础，下面就对它进行介绍。线性插值（Linear Interpolation）是一种基本的数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计未知值。它是最简单形式的插值方法之一，基于两点之间直线的数学概念。当需要在一个已知数据集内找到一个特定值时，线性插值可以提供一个合理且快速的近似解。线性插值的核心思想是利用已知点之间的直线来估计未知点的值。设有两个已知点 $x_0,y_0)$ 和 $x_1,y_1)$ ，我们希望估计在 $x$ 处的 $y$ 值，如下图所示。
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从上图可知，某条直线过点 $x_0,y_0)$ 和 $x_1,y_1)$ ，我们想要得到区间 $x_0,x_1]$ 内某一位置 $x$ 在直线上对应的值 $y$ ，可以采用两点式直线方程，如下所示。
$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \quad(1)$
将方程(1)进行化简得到：
$\begin{align*} y =& \frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}+y_0 \\ =&\frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}+\frac{(x_1-x_0)y_0}{x_1-x_0} \\ =& \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1+\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0}y_0- \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_0\\ =& \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1+\frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0 \end{align*}\quad(2)$
即：
$=\frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1\quad(3)$
小结：我们可以把公式(3)中的 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$ 、 $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 分别看成 $y_0$ 和 $y_1$ 的权重。下面详细解释一下这句话的意思。
从上图我们可以知道 $x_1-x_0$ 是一个固定值，表示区间 $x_0,x_1]$ 的大小或宽度。由公式(3)可知，该区间的某个点 $(x, y)$ 对应的 $y$ 值与 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0$ 和 $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1$ 有关，且 $0\leq\frac{x_1-x}{x_1-x_0},\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\leq1$ 。重点来了：我们可以将 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0},\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 分别看成是 $y_0,y_1$ 的权重。当点 $(x, y)$ 越靠近点 $x_0,y_0)$ 时，该点的 $y$ 值就越接近 $y_0$ ， $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$ 的值越大（ $y_0$ 的权重）；该点的 $y$ 值就越远离 $y_1$ ， $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 的值越小（ $y_1$ 的权重）。换句话说，当点 $(x, y)$ 越靠近点 $x_0,y_0)$ 时，和 $y_0$ 的相关性就越强，和 $y_1$ 的相关性就越弱。同理，当点 $(x, y)$ 越靠近点 $x_1,y_1)$ 时，该点的 $y$ 值就越接近 $y_1$ ， $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 的值越大（ $y_1$ 的权重）；该点的 $y$ 值就越远离 $y_0$ ， $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$ 的值越小（ $y_0$ 的权重）。换句话说，当点 $(x, y)$ 越靠近点 $x_1,y_1)$ 时，和 $y_0$ 的相关性就越弱，和 $y_1$ 的相关性就越强。其实我们可以将公式(3)进行通俗化描述：
$=w_0y_0+w_1y_1\quad(3)$
其中， $w_0,w_1$ 分别表示 $y_0$ 和 $y_1$ 的权重。

（2）示例：假设我们有两组数据点 $(170, 130)$ 和 $(180, 160)$ ，该数据点表示身高和体重之间的相应关系，即当身高为 170cm 时，体重为130斤；身高为 180cm 时，体重为 160斤。那么当身高为174时，体重为多少斤？我们可将 $(170, 130)$ 看成 $x_0,y_0)$ ，将 $(180, 160)$ 看作 $x_1,y_1)$ ，并将这两组数据点直接代入公式(3)，得：
$\frac{180-x}{180-170}130+\frac{x-170}{180-170}160$
当身高 x=174时，体重 y=142。

2. 双线性插值

在图像处理方面，双线性插值是利用已知邻近像素点的灰度值或RGB中的三色值产生未知像素点的灰度值或RGB三色值，目的是由原始图像再生出具有更高分辨率的图像。通俗点理解就是由已知推导未知，从而强化图像。双线性插值（Bilinear Interpolation）是一种在二维空间中进行数值估计的方法，它基于四个已知点的值来计算一个未知点的值。
双线性插值的核心思想是在两个方向上（x和y方向）分别进行一次线性插值，下面是关于双线性插值的公式推导。如下图所示，点 $Q_{11}=(x_1,y_1)$ 、点 $Q_{12}=(x_1,y_2)$ 、点 $Q_{21}=(x_2,y_1)$ 、 $Q_{22}=(x_2,y_2)$ ，某个函数 $f$ 在上述四个点上对应的值分别为 $f(Q_{11})$ 、 $f(Q_{12})$ 、 $f(Q_{21})$ 、 $f(Q_{22})$ 。对于给定的某个点 $P = (x, y)$ 在函数 $f$ 上的值 $f (P)$ 是多少？下面给出两种计算方式。
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2.1 先x方向，后y方向

首先沿着 x 方向进行两次线性插值（即 x 改变，y 不变），分别得到点 $R_1=(x,y_1)$ 、 $R_2=(x,y_2)$ 在函数 $f$ 上的值 $f(R_1)$ 、 $f(R_2)$ ，公式如下。
$f(R_1)=f\left(x,y_{1}\right)=\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f\left(Q_{11}\right)+\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f\left(Q_{21}\right) \quad(4)\\ f(R_2)=f\left(x,y_{2}\right)=\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f\left(Q_{12}\right)+\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f\left(Q_{22}\right)\quad(5)$

然后再沿着 y 方向进行一次线性插值，得到：
$\frac{y_2 - y}{y_2 - y_1} f (x,y_1 )+\frac{y-y_1}{y_2 - y_1} f (x,y_2) \quad(6)$
将由公式(4)得到的 $f(x,y_1)$ 和公式(5)得到的 $f(x,y_2)$ 代入公式(6)，进一步化简得到：
$\begin{align*} f(P) =&\frac{y_2-y}{y_2-y_1}\left(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{21}\right)\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\left(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{12}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{22}\right)\right)\\ =& \frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{11})+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{21})+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{12})+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{22}) \end{align*}\quad(7)$
我们将 $f(Q_{11})$ 、 $f(Q_{21})$ 、 $f(Q_{12})$ 、 $f(Q_{22})$ 前面的系数（可以认为是权重）替换成 $w_{11}$ 、 $w_{21}$ 、 $w_{12}$ 、 $w_{22}$ ，得到：
$w_{11}f(Q_{11})+w_{21}f(Q_{21})+w_{12}f(Q_{12})+w_{22}f(Q_{22}) \quad(8)$

2.2 先y方向，后x方向

首先沿着 y 方向进行两次线性插值（即 y 改变，x 不变），分别得到点 $x_1,y)$ 、 $x_2,y)$ 在函数 $f$ 上的值 $f(x_1,y)$ 、 $f(x_2,y)$ ，公式如下。
$f\left(x_1,y\right)=\frac{y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}f\left(Q_{11}\right)+\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}f\left(Q_{12}\right) \quad(9)\\ f\left(x_2,y\right)=\frac{y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}f\left(Q_{21}\right)+\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}f\left(Q_{22}\right)\quad(10)$

然后再沿着 x 方向进行一次线性插值，得到：
$\frac{x_2 - x}{x_2 - x_1} f (x_1,y)+\frac{x-x_1}{x_2 - x_1} f (x_2,y) \quad(11)$

将由公式(9)得到的 $f(x_1,y)$ 和公式(10)得到的 $f(x_2,y)$ 代入公式(11)，进一步化简得到：
$\begin{align*} f(P) =&\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\left(\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{12}\right)\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\left(\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{21}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{22}\right)\right)\\ =& \frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{11})+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{12})+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{21})+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{22}) \end{align*}\quad(12)$

我们将 $f(Q_{11})$ 、 $f(Q_{21})$ 、 $f(Q_{12})$ 、 $f(Q_{22})$ 前面的系数（可以认为是权重）替换成 $w_{11}$ 、 $w_{21}$ 、 $w_{12}$ 、 $w_{22}$ ，得到：
$w_{11}f(Q_{11})+w_{21}f(Q_{21})+w_{12}f(Q_{12})+w_{22}f(Q_{22}) \quad(13)$

由此可见：无论是先x方向，后y方向，还是先y方向，后x方向，进行双线性插值的结果都是一样的。

2.3 双线性插值例题

假设我们有以下四个已知数据点： $A (1, 1, 10) 、 B (2, 1, 20) 、 C (1, 2, 30) 、 D (2, 2, 40)$ ，其中每个点的格式 $(x, y, f (x, y))$ 表示坐标和对应的值，点 $A 、 B 、 C 、 D$ 分别等价于上面的 $Q_{11}=(x_1,y_1)、Q_{21}=(x_2,y_1)、Q_{12}=(x_1,y_2)、Q_{22}=(x_2,y_2)$ 。现在，我们希望使用双线性插值来估计点 $P (1.5, 1.5)$ 的值。下面我们采用先x方向，后y方向双线性插值来进行估计。
（1）首先沿着 x 轴方向进行两次线性插值，由公式(4)和公式(5)分别计算在 $y = 1$ 和 $y = 2$ 处的插值。