双线性插值（Bilinear Interpolation）的介绍

1. 线性插值

  （1）(单)线性插值是学好双线性插值的基础，下面就对它进行介绍。线性插值（Linear Interpolation）是一种基本的数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计未知值。它是最简单形式的插值方法之一，基于两点之间直线的数学概念。当需要在一个已知数据集内找到一个特定值时，线性插值可以提供一个合理且快速的近似解。线性插值的核心思想是利用已知点之间的直线来估计未知点的值。设有两个已知点 $(x_0,y_0)$ 和 $(x_1,y_1)$，我们希望估计在 $x$ 处的 $y$值，如下图所示。

  从上图可知，某条直线过点 $(x_0,y_0)$ 和 $(x_1,y_1)$，我们想要得到区间 $[x_0,x_1]$内某一位置 $x$ 在直线上对应的值 $y$，可以采用两点式直线方程，如下所示。
$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(1)$$
将方程(1)进行化简得到：
$$\begin{array}{rl}y=& \frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}+y_0\\ =& \frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}+\frac{(x_1-x_0)y_0}{x_1-x_0}\\ =& \frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1+\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0}{y}_0-\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_0\\ =& \frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1+\frac{x_1-x}{x_1-x_0}{y}_0\end{array}(2)$$
即：
$$y=\frac{x_1-x}{x_1-x_0}{y}_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1(3)$$
小结：我们可以把公式(3)中的 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$ 、 $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 分别看成 $y_0$和 $y_1$ 的权重。下面详细解释一下这句话的意思。
  从上图我们可以知道 $x_1-x_0$是一个固定值，表示区间 $[x_0,x_1]$的大小或宽度。由公式(3)可知，该区间的某个点 $(x,y)$ 对应的 $y$ 值与 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0}{y}_0$ 和 $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1$ 有关，且 $0\le \frac{x_1-x}{x_1-x_0},\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\le 1$。重点来了：我们可以将 $\frac{x_1-x}{x_1-x_0},\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 分别看成是 $y_0,y_1$的权重。当点 $(x,y)$ 越靠近点 $(x_0,y_0)$时，该点的 $y$ 值就越接近 $y_0$，$\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$的值越大（$y_0$的权重）；该点的 $y$ 值就越远离 $y_1$，$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$的值越小（$y_1$的权重）。换句话说，当点 $(x,y)$ 越靠近点 $(x_0,y_0)$时，和 $y_0$的相关性就越强，和 $y_1$的相关性就越弱。同理，当点 $(x,y)$ 越靠近点 $(x_1,y_1)$时，该点的 $y$ 值就越接近 $y_1$，$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$的值越大（$y_1$的权重）；该点的 $y$ 值就越远离 $y_0$，$\frac{x_1-x}{x_1-x_0}$的值越小（$y_0$的权重）。换句话说，当点 $(x,y)$ 越靠近点 $(x_1,y_1)$时，和 $y_0$的相关性就越弱，和 $y_1$的相关性就越强。其实我们可以将公式(3)进行通俗化描述：
$$y=w_0{y}_0+w_1{y}_1(3)$$
其中，$w_0,w_1$ 分别表示 $y_0$和 $y_1$ 的权重。

  （2）示例：假设我们有两组数据点 $(170,130)$ 和 $(180,160)$，该数据点表示身高和体重之间的相应关系，即当身高为 170cm 时，体重为130斤；身高为 180cm 时，体重为 160斤。那么当身高为174时，体重为多少斤？我们可将$(170,130)$看成$(x_0,y_0)$，将 $(180,160)$看作$(x_1,y_1)$，并将这两组数据点直接代入公式(3)，得：
$$y=\frac{180-x}{180-170}130+\frac{x-170}{180-170}160$$
当身高 x=174时，体重 y=142。

2. 双线性插值

    在图像处理方面，双线性插值是利用已知邻近像素点的灰度值或RGB中的三色值产生未知像素点的灰度值或RGB三色值，目的是由原始图像再生出具有更高分辨率的图像。通俗点理解就是由已知推导未知，从而强化图像。双线性插值（Bilinear Interpolation）是一种在二维空间中进行数值估计的方法，它基于四个已知点的值来计算一个未知点的值。
  双线性插值的核心思想是在两个方向上（x和y方向）分别进行一次线性插值，下面是关于双线性插值的公式推导。如下图所示，点 $Q_{11}=(x_1,y_1)$、点$Q_{12}=(x_1,y_2)$、点$Q_{21}=(x_2,y_1)$、$Q_{22}=(x_2,y_2)$，某个函数 $f$ 在上述四个点上对应的值分别为 $f(Q_{11})$、$f(Q_{12})$、$f(Q_{21})$、$f(Q_{22})$。对于给定的某个点 $P=(x,y)$在函数 $f$ 上的值 $f(P)$ 是多少？下面给出两种计算方式。

2.1 先x方向，后y方向

  首先沿着 x 方向进行两次线性插值（即 x 改变，y 不变），分别得到点 $R_1=(x,y_1)$、$R_2=(x,y_2)$ 在函数 $f$ 上的值 $f(R_1)$、$f(R_2)$，公式如下。
$$\begin{gathered} f(R_1)=f\left(x,y_1\right)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{21}\right)(4) \\ f(R_2)=f\left(x,y_2\right)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{12}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{22}\right)(5) \end{gathered}$$

然后再沿着 y 方向进行一次线性插值，得到：
$$f(P)=f(x,y)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(x,y_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(x,y_2)(6)$$
将由公式(4)得到的 $f(x,y_1)$ 和公式(5)得到的 $f(x,y_2)$代入公式(6)，进一步化简得到：
$$\begin{array}{rl}f(P)=& \frac{y_2-y}{y_2-y_1}\left(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{21}\right)\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\left(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f\left(Q_{12}\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(Q_{22}\right)\right)\\ =& \frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{11})+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{21})+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{12})+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{22})\end{array}(7)$$
我们将 $f(Q_{11})$、$f(Q_{21})$、$f(Q_{12})$、$f(Q_{22})$ 前面的系数（可以认为是权重）替换成 $w_{11}$、$w_{21}$、$w_{12}$、$w_{22}$ ，得到：
$$f(P)=w_{11}f(Q_{11})+w_{21}f(Q_{21})+w_{12}f(Q_{12})+w_{22}f(Q_{22})(8)$$

2.2 先y方向，后x方向

  首先沿着 y 方向进行两次线性插值（即 y 改变，x 不变），分别得到点 $(x_1,y)$、$(x_2,y)$ 在函数 $f$ 上的值 $f(x_1,y)$、$f(x_2,y)$，公式如下。
$$\begin{gathered} f\left(x_1,y\right)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{12}\right)(9) \\ f\left(x_2,y\right)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{21}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{22}\right)(10) \end{gathered}$$

然后再沿着 x 方向进行一次线性插值，得到：
$$f(P)=f(x,y)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1,y)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2,y)(11)$$

将由公式(9)得到的 $f(x_1,y)$ 和公式(10)得到的 $f(x_2,y)$代入公式(11)，进一步化简得到：
$$\begin{array}{rl}f(P)=& \frac{x_2-x}{x_2-x_1}\left(\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{11}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{12}\right)\right)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\left(\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f\left(Q_{21}\right)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f\left(Q_{22}\right)\right)\\ =& \frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{11})+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{12})+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{21})+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}f(Q_{22})\end{array}(12)$$

我们将 $f(Q_{11})$、$f(Q_{21})$、$f(Q_{12})$、$f(Q_{22})$ 前面的系数（可以认为是权重）替换成 $w_{11}$、$w_{21}$、$w_{12}$、$w_{22}$ ，得到：
$$f(P)=w_{11}f(Q_{11})+w_{21}f(Q_{21})+w_{12}f(Q_{12})+w_{22}f(Q_{22})(13)$$

由此可见：无论是先x方向，后y方向，还是先y方向，后x方向，进行双线性插值的结果都是一样的。

2.3 双线性插值例题

  假设我们有以下四个已知数据点：$A(1,1,10)、B(2,1,20)、C(1,2,30)、D(2,2,40)$，其中每个点的格式 $(x,y,f(x,y))$ 表示坐标和对应的值，点 $A、B、C、D$分别等价于上面的 $Q_{11}=(x_1,y_1)、Q_{21}=(x_2,y_1)、Q_{12}=(x_1,y_2)、Q_{22}=(x_2,y_2)$。现在，我们希望使用双线性插值来估计点 $P(1.5,1.5)$的值。下面我们采用先x方向，后y方向双线性插值来进行估计。
  （1）首先沿着 x 轴方向进行两次线性插值，由公式(4)和公式(5)分别计算在 $y=1$ 和 $y=2$ 处的插值。

• 在 $y=1$ 处的插值：$f(R_1)=f(1.5,1)=\frac{2-1.5}{2-1}10+\frac{1.5-1}{2-1}20=15$；
• 在 $y=2$ 处的插值：$f(R_2)=f(1.5,2)=\frac{2-1.5}{2-1}30+\frac{1.5-1}{2-1}40=35$；

  （2）然后再沿着 y 方向进行一次线性插值，由公式(6)得到：
$$f(P)=f(1.5,1.5)=\frac{2-1.5}{2-1}15+\frac{1.5-1}{2-1}35=25$$

  （3）因此，在点 $P(1.5,1.5)$ 处的双线性插值为 25。

关于双线性插值的更为详细的介绍请参考下面的视频！！！

参考：
视频：双线性插值
视频：图像处理-双线性插值
视频：插值算法 ｜双线性插值法
双线性插值(Bilinear Interpol)原理及应用
双线性插值（Bilinear interpolation）原理推导
双线性插值(Bilinear Interpolation)