求解亥姆霍兹方程
首先，变量分离将亥姆霍兹方程
( ∇ 2 + k 2 ) Ψ ( d ) = 0 (\nabla^2 + k^2) \Psi(\boldsymbol{d}) = 0 (∇2+k2)Ψ(d)=0
分解为球谐函数和球贝塞尔函数方程，我们将方程的解函数 Ψ \Psi Ψ 转换到球坐标系 ( r , θ , ϕ ) (r, \theta, \phi) (r,θ,ϕ) 下，并将解 Ψ ( r , θ , ϕ ) \Psi(r, \theta, \phi) Ψ(r,θ,ϕ) 表示为径向函数和角向函数的乘积形式：
Ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ( θ , ϕ ) \Psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) Ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)
其中 R ( r ) R(r) R(r) 是仅依赖于径向坐标 r r r 的函数， Y ( θ , ϕ ) Y(\theta, \phi) Y(θ,ϕ) 是依赖于角度 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ 的角向函数。这样可以将问题分离为径向部分和角度部分。
1. 亥姆霍兹方程的球坐标形式
在球坐标下，拉普拉斯算子 ∇ 2 \nabla^2 ∇2 表示为：
∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} ∇2=r21∂r∂(r2∂r∂)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2
代入亥姆霍兹方程，我们得到：
( 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ Ψ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ Ψ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 Ψ ∂ ϕ 2 + k 2 ) Ψ = 0 \left( \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial \phi^2} + k^2 \right) \Psi = 0 (r21∂r∂(r2∂r∂Ψ)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂Ψ)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2Ψ+k2)Ψ=0
将 Ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ( θ , ϕ ) \Psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) Ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ) 代入其中，并乘以 r 2 / ( R Y ) r^2 / (R Y) r2/(RY)，我们得到：
1 R d d r ( r 2 d R d r ) + r 2 k 2 = − 1 Y ( 1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ Y ∂ θ ) + 1 sin 2 θ ∂ 2 Y ∂ ϕ 2 ) \frac{1}{R} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + r^2 k^2 = - \frac{1}{Y} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} \right) R1drd(r2drdR)+r2k2=−Y1(sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂Y)+sin2θ1∂ϕ2∂2Y)
上式的左侧只依赖于 r r r，右侧只依赖于 θ \theta θ 和 ϕ \phi ϕ。因此，为了使方程成立，两边必须等于同一个分离常数，记为 l ( l + 1 ) l(l + 1) l(l+1)。由此，方程分解为两个独立方程：径向方程和角向方程。
2. 角向方程（球谐方程）
角向方程由角度部分给出为：
1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ Y ∂ θ ) + 1 sin 2 θ ∂ 2 Y ∂ ϕ 2 + l ( l + 1 ) Y = 0 \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} + l(l + 1) Y = 0 sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂Y)+sin2θ1∂ϕ2∂2Y+l(l+1)Y=0
这是球谐方程，其解是球谐函数 Y l m ( θ , ϕ ) Y_l^m(\theta, \phi) Ylm(θ,ϕ)，其中 l l l 是非负整数，表示角量子数，而 m m m 是整数，满足 − l ≤ m ≤ l -l \leq m \leq l −l≤m≤l。
3. 径向方程（球贝塞尔方程）
径向部分的方程为：
d d r ( r 2 d R d r ) + ( k 2 r 2 − l ( l + 1 ) ) R = 0 \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) + \left( k^2 r^2 - l(l + 1) \right) R = 0 drd(r2drdR)+(k2r2−l(l+1))R=0
通过进一步简化，这个方程可以写成：
d 2 R d r 2 + 2 r d R d r + ( k 2 − l ( l + 1 ) r 2 ) R = 0 \frac{d^2 R}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR}{dr} + \left( k^2 - \frac{l(l + 1)}{r^2} \right) R = 0 dr2d2R+r2drdR+(k2−r2l(l+1))R=0
这就是球贝塞尔方程，其解是第一类和第二类球贝塞尔函数 j l ( k r ) j_l(kr) jl(kr) 和 y l ( k r ) y_l(kr) yl(kr)。
4. 总解
将径向解和角向解组合在一起，亥姆霍兹方程的解可以表示为：
Ψ ( r , θ , ϕ ) = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( a l m j l ( k r ) + b l m y l ( k r ) ) Y l m ( θ , ϕ ) \Psi(r, \theta, \phi) = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left( a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} y_l(kr) \right) Y_l^m(\theta, \phi) Ψ(r,θ,ϕ)=l=0∑∞m=−l∑l(almjl(kr)+blmyl(kr))Ylm(θ,ϕ)
其中， a l m a_{lm} alm 和 b l m b_{lm} blm 是待定的常数， j l ( k r ) j_l(kr) jl(kr) 和 y l ( k r ) y_l(kr) yl(kr) 分别是第一类和第二类球贝塞尔函数， Y l m ( θ , ϕ ) Y_l^m(\theta, \phi) Ylm(θ,ϕ) 是球谐函数。