【Java数据结构】树】

一、树型结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它的根朝上，而叶朝下的。

1.2 特点

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点是没有前驱。（没有父结点）。
• 除了结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每个集合又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱（父结点），可以有0或多个后继（子结点）。
• 树是递归定义。
• 树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构。

1.3 树的类型

1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

• 满二叉树（Full Binary Tree）：除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
• 完全二叉树（Complete Binary Tree）：所有层（除了最后一层）都是满的，并且最后一层的节点从左到右连续填充。
• 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的两个子树的高度差不超过1。

2. 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：满足以下性质的二叉树：对于每个节点，其左子树中所有节点的值都小于该节点的值，其右子树中所有节点的值都大于该节点的值。
3. B树（B-Tree）：一种自平衡的树，广泛用于数据库和文件系统中，可以容纳多个值的节点。
4. List item红黑树（Red-Black Tree）：一种自平衡的二叉搜索树，具有严格的平衡要求，每个节点都有一个表示颜色的位（红或黑）。
5. Trie树（Trie 或 Prefix Tree）：一种用于存储字符串集合的树结构，主要用于字典和前缀匹配。

1.4 树的遍历方式

遍历是访问树中所有节点的过程，主要有以下几种方式：

• 前序遍历（Preorder Traversal）：根节点 -> 左子树 -> 右子树
• 中序遍历（Inorder Traversal）：左子树 -> 根节点 -> 右子树（对于二叉搜索树，这是升序访问所有节点的方式）
• 后序遍历（Postorder Traversal）：左子树 -> 右子树 -> 根节点
• 层次遍历（Level Order Traversal）：按层次从上到下、从左到右访问节点（通常使用队列实现）。

举例：

前序遍历：A B C D E F
中序遍历：C B D A E F
后序遍历 ：C D B F E A
层次遍历 ：A B E C D F

1.5 树的表示形式

表示形式：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

1.5.1 双亲表示法

双亲表示法使用一个数组来存储树的节点，其中每个节点包含一个数据域和一个指向其父节点的指针（或索引）。

class TreeNodeParent {  
    int data; // 节点数据  
    int parent; // 父节点索引
  
    TreeNodeParent(int data, int parent) {  
        this.data = data;  
        this.parent = parent;  
    }  
} 

1.5.2 孩子表示法

孩子表示法使用一个数组来存储树的节点，并为每个节点维护一个链表，链表中的元素是该节点的所有孩子节点。

class TreeNodeChild {  
    int data; // 节点数据  
    List<TreeNodeChild> children; // 孩子节点列表  
  
    TreeNodeChild(int data) {  
        this.data = data;  
        this.children = new LinkedList<>();  
    }  
}  

1.5.3 孩子双亲表示法

孩子双亲表示法结合了双亲表示法和孩子表示法，每个节点既包含指向其父节点的指针（或索引），又包含指向其孩子节点的链表。

class TreeNodeChildParent {  
    int data; // 节点数据  
    int parent; // 父节点索引（若为-1，则表示该节点为根节点）  
    List<TreeNodeChildParent> children; // 孩子节点列表  
  
    TreeNodeChildParent(int data, int parent) {  
        this.data = data;  
        this.parent = parent;  
        this.children = new LinkedList<>();  
    }  
}  

1.5.4 孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法使用两个指针（或索引），分别指向节点的第一个孩子节点和右兄弟节点。这种方法可以方便地表示任意树结构。

class TreeNode {
    int data; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二、树型概念（重点）

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次；
• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙；
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林。