【笔记】复数基础复数相乘的物理意义：旋转+缩放
复数基础
- 复数的代数、向量、矩阵、极坐标和指数形式
- 1. 代数形式
- 2. 向量形式
- 3. 矩阵形式
- 3.1 推导
- 3.2 总结
- 4.欧拉公式
- 5. 极坐标形式
- 6. 指数形式
- 复数相乘的物理意义：旋转+缩放
- 1. 复数相乘的几何解释
- 2. 物理意义：旋转 + 缩放
- 示例
复数的代数、向量、矩阵、极坐标和指数形式
核心：
- 复数相乘的物理意义是缩放和旋转
- 复数乘法的旋转和缩放操作，可以借助矩阵的线性变换实现
1. 代数形式
复数
z
z
z 一般表示为：
z
=
a
+
b
i
z = a + bi
z=a+bi
其中
a
a
a 为实部，
b
b
b 为虚部，
i
i
i 为虚数单位，满足
i
2
=
−
1
i^2 = -1
i2=−1。
2. 向量形式
复数可以在平面上表示为向量：
- 向量的起点位于坐标原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)，
- 终点位于 ( a , b ) (a, b) (a,b)。
复数的模和辐角对应向量的长度和方向，模为 r = a 2 + b 2 r = \sqrt{a^2 + b^2} r=a2+b2，辐角 θ = tan − 1 ( b / a ) \theta = \tan^{-1}(b / a) θ=tan−1(b/a)。
3. 矩阵形式
复数
z
=
a
+
b
i
z = a + bi
z=a+bi 可以用
2
×
2
2 \times 2
2×2 矩阵表示：
z
=
a
+
b
i
⇒
(
a
−
b
b
a
)
z = a + bi \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
z=a+bi⇒(ab−ba)
3.1 推导
设复数
z
1
=
a
+
b
i
z_1 = a + bi
z1=a+bi 和
z
2
=
c
+
d
i
z_2 = c + di
z2=c+di，它们的矩阵表示分别为：
M
z
1
=
(
a
−
b
b
a
)
和
M
z
2
=
(
c
−
d
d
c
)
M_{z_1} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \quad \text{和} \quad M_{z_2} = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}
Mz1=(ab−ba)和Mz2=(cd−dc)
对于两个复数
z
1
=
a
+
b
i
z_1 = a + bi
z1=a+bi 和
z
2
=
c
+
d
i
z_2 = c + di
z2=c+di，它们的乘积为：
z
1
⋅
z
2
=
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
可以找到一个矩阵
M
z
=
(
a
−
b
b
a
)
M_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
Mz=(ab−ba)，使得它能够表达复数
a
+
b
i
a + bi
a+bi 的线性变换，作用在二维向量
(
c
,
d
)
(c, d)
(c,d) 上时，实现复数乘法的效果。
M
z
(
c
d
)
=
(
a
−
b
b
a
)
(
c
d
)
=
(
a
c
−
b
d
a
d
+
b
c
)
M_{z} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ac - bd \\ ad + bc \end{pmatrix}
Mz(cd)=(ab−ba)(cd)=(ac−bdad+bc)
结果
(
a
c
−
b
d
,
a
d
+
b
c
)
(ac - bd, ad + bc)
(ac−bd,ad+bc) 正好与复数
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
(a + bi)(c + di)
(a+bi)(c+di) 的实部和虚部相符。
此外，两个复数对应的矩阵相乘，结果如下：
M
z
1
M
z
2
=
(
a
−
b
b
a
)
(
c
−
d
d
c
)
=
(
a
c
−
b
d
−
(
a
d
+
b
c
)
a
d
+
b
c
a
c
−
b
d
)
M_{z_1} M_{z_2} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ac - bd & - (ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix}
Mz1Mz2=(ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)
结果矩阵的形式为
(
a
c
−
b
d
−
(
a
d
+
b
c
)
a
d
+
b
c
a
c
−
b
d
)
\begin{pmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix}
(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)，它实际上对应了复数
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 的矩阵形式。因此，矩阵乘积
M
z
1
M
z
2
M_{z_1} M_{z_2}
Mz1Mz2 正好与复数
z
1
z
2
z_1 z_2
z1z2 的矩阵形式一致。
3.2 总结
- 复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi 可以表示为矩阵 M z = ( a − b b a ) M_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} Mz=(ab−ba)。
- 矩阵乘法 M z 1 M z 2 M_{z_1} M_{z_2} Mz1Mz2 相当于复数的乘法 ( z 1 ⋅ z 2 ) (z_1 \cdot z_2) (z1⋅z2)。
- 复数乘法的旋转和缩放操作，可以借助矩阵的线性变换实现。
4.欧拉公式
欧拉公式展示了复指数函数与三角函数的关系：
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
eiθ=cosθ+isinθ
可以通过将 i θ i \theta iθ 带入指数函数的泰勒展开式来证明这一结果。
4.1 指数函数的泰勒级数展开
指数函数
e
x
e^x
ex 的泰勒展开为：
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯=n=0∑∞n!xn
将
x
=
i
θ
x = i \theta
x=iθ 代入该展开式，得到：
e
i
θ
=
1
+
i
θ
1
!
+
(
i
θ
)
2
2
!
+
(
i
θ
)
3
3
!
+
(
i
θ
)
4
4
!
+
⋯
e^{i \theta} = 1 + \frac{i \theta}{1!} + \frac{(i \theta)^2}{2!} + \frac{(i \theta)^3}{3!} + \frac{(i \theta)^4}{4!} + \cdots
eiθ=1+1!iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+4!(iθ)4+⋯
将
e
i
θ
e^{i \theta}
eiθ 的展开式按实部和虚部分开：
e i θ = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯ ) + i ( θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ ) e^{i \theta} = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) eiθ=(1−2!θ2+4!θ4−6!θ6+⋯)+i(θ−3!θ3+5!θ5−7!θ7+⋯)
4.2 将实部和虚部与 cos θ \cos \theta cosθ 和 sin θ \sin \theta sinθ 对比
注意到上式中的两个部分：
- 实部 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − ⋯ 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots 1−2!θ2+4!θ4−⋯ 正是 cos θ \cos \theta cosθ 的泰勒展开。
- 虚部 θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − ⋯ \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots θ−3!θ3+5!θ5−⋯ 正是 sin θ \sin \theta sinθ 的泰勒展开。
因此，可以得到：
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
eiθ=cosθ+isinθ
5. 极坐标形式
复数
z
=
a
+
b
i
z = a + bi
z=a+bi 可以转换为极坐标形式：
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
z = r (\cos \theta + i \sin \theta)
z=r(cosθ+isinθ)
其中：
- r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} r=∣z∣=a2+b2 是模（距离原点的距离），
- θ = arg ( z ) \theta = \arg(z) θ=arg(z) 是辐角（与实轴的夹角）。
6. 指数形式
使用欧拉公式
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
eiθ=cosθ+isinθ，复数可以表示为：
z
=
r
e
i
θ
z = r e^{i \theta}
z=reiθ
复数相乘的物理意义：旋转+缩放
1. 复数相乘的几何解释
假设有两个复数
z
1
=
r
1
e
i
θ
1
z_1 = r_1 e^{i \theta_1}
z1=r1eiθ1 和
z
2
=
r
2
e
i
θ
2
z_2 = r_2 e^{i \theta_2}
z2=r2eiθ2，它们的乘积为：
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}
z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)
结果具有两个重要特点：
- 模的乘积：模 r 1 r_1 r1 和 r 2 r_2 r2 相乘，结果的模为 r 1 × r 2 r_1 \times r_2 r1×r2，即向量的长度被缩放。
- 辐角的相加：辐角 θ 1 \theta_1 θ1 和 θ 2 \theta_2 θ2 相加，结果的辐角为 θ 1 + θ 2 \theta_1 + \theta_2 θ1+θ2，即向量的方向发生旋转。
2. 物理意义：旋转 + 缩放
- 旋转：乘以 z 2 z_2 z2 将 z 1 z_1 z1 的方向旋转了 z 2 z_2 z2 的辐角 θ 2 \theta_2 θ2。
- 缩放：乘以 z 2 z_2 z2 将 z 1 z_1 z1 的模缩放了 z 2 z_2 z2 的模 r 2 r_2 r2 倍。
示例
假设
z
1
=
3
e
i
π
4
z_1 = 3 e^{i \frac{\pi}{4}}
z1=3ei4π 和
z
2
=
2
e
i
π
6
z_2 = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}
z2=2ei6π，它们的乘积为：
z
1
z
2
=
(
3
×
2
)
e
i
(
π
4
+
π
6
)
=
6
e
i
5
π
12
z_1 z_2 = (3 \times 2) e^{i \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right)} = 6 e^{i \frac{5\pi}{12}}
z1z2=(3×2)ei(4π+6π)=6ei125π
在几何上，
z
1
z_1
z1 先旋转
π
6
\frac{\pi}{6}
6π（约 30°），再放大 2 倍，得到的新向量长度为 6，角度为
5
π
12
\frac{5\pi}{12}
125π（约 75°）。