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两步GMM计算权重矩阵

article 2025/1/18 5:05:05

在广义矩方法（GMM）中，权重矩阵(W)的选择是关键的一步。理想情况下，(W)应该等于矩条件的协方差矩阵的逆矩阵。这是因为使用这样的权重矩阵可以使得估计量达到最小方差，从而提高估计效率。

两步GMM计算权重矩阵(W)

第一步 - 初始估计：
- 使用一个简单的权重矩阵（如单位矩阵）来进行初始的参数估计。
- 基于这个初始估计，计算出样本矩条件向量(g_n(\theta))。
估计协方差矩阵：
- 使用初始估计得到的参数值来计算每个观测点的矩条件向量(g(x_i, \hat{\theta}_0))。
- 计算这些矩条件向量的样本协方差矩阵(\hat{S})。
构造新的权重矩阵：
- 将上述估计得到的协方差矩阵取逆，即得到更有效的权重矩阵(\hat{W} = \hat{S}^{-1})。

MATLAB代码示例

下面是一个MATLAB代码示例，演示如何通过两步GMM来计算权重矩阵(W)：

% 生成模拟数据
n = 1000; % 样本数量
x = randn(n, 1); % 自变量
e = randn(n, 1); % 随机扰动项
y = 1 + 2 * x + e; % 因变量，真实参数为β0=1, β1=2

% 定义矩条件函数
moment_conditions = @(params, x, y) [y - (params(1) + params(2) * x), ...
                                      x .* (y - (params(1) + params(2) * x))];

% 第一步：使用单位矩阵作为初始权重矩阵进行初始估计
W_initial = eye(2);
options = optimset('Display', 'iter', 'MaxIter', 500, 'TolX', 1e-8, 'TolFun', 1e-8);
objective_function = @(params, x, y, W) moment_conditions(params, x, y)' * W * moment_conditions(params, x, y);
start_params = [0, 0];
result_initial = fminunc(@(params) objective_function(params, x, y, W_initial), start_params, options);

% 第二步：基于初始估计计算新的权重矩阵
g_n = moment_conditions(result_initial, x, y);
S_hat = g_n' * g_n / n; % 估计协方差矩阵
W_new = inv(S_hat); % 新的权重矩阵

% 输出新的权重矩阵
disp('New Weight Matrix W:');
disp(W_new);

% 可以继续使用新的权重矩阵W_new进行第二次优化
result_final = fminunc(@(params) objective_function(params, x, y, W_new), result_initial, options);

% 输出最终结果
fprintf('Final estimated parameters: beta0 = %.4f, beta1 = %.4f\n', result_final(1), result_final(2));