一致校验关系一致校验矩阵
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T1
设有四个消息： a 1 , a 2 , a 3 , a 4 a_1,a_2,a_3,a_4 a1,a2,a3,a4 ,被编成长为“5”的二元线性系统码
00000,01101,10111,11010。试给出码的一致校验关系。
解：设信息位m=(m-m-m-1),码字C=(c-c-c-c-4c-c-2c-1)=(m-m-m-1c-2c-1)。根据编码规则可得：
{
c
4
=
m
2
c
3
=
m
1
c
2
=
m
2
+
m
1
c
1
=
m
2
c
0
=
m
2
+
m
1
\begin{cases}c_4=m_2\\c_3=m_1\\c_2=m_2+m_1\\c_1=m_2\\c_0=m_2+m_1\end{cases}
⎩
⎨
⎧c4=m2c3=m1c2=m2+m1c1=m2c0=m2+m1
码字之间存在线性关系，所以该码是线性分组码。
H = [ 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 ] H=\begin{bmatrix}1&1&1&0&0\\1&0&0&1&0\\1&1&0&0&1\end{bmatrix} H= 111101100010001 ,满足 H C ⃗ T = 0 ⃗ T H\vec C^T=\vec{0}^T HCT=0T
T2
一个纠错码消息与码字的对应关系如下：(00)-(00000),(01)–(00111),(10)–(111110),(11)–(11001)。
(1)证明该码是线性分组码；
(2)求该码的码长，编码效率和最小码距；
(3) 求该码的生成矩阵和一致校验矩阵；
(4) 构造该码 BSC 上的标准阵列；
(5) 若在转移概率
p
=
1
0
−
3
p=10^{-3}
p=10−3的 BSC 上消息等概率发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率
和消息比特差错概率；
解：
(1)证明：设信息位
m
=
(
m
1
,
m
2
)
m=(m_1,m_2)
m=(m1,m2),码字C=(
c
4
c
3
c
2
c
1
c
0
c_4c_3c_2c_1c_0
c4c3c2c1c0)。根据编码规则可得：
{ c 4 = m 2 c 3 = m 2 c 2 = m 2 + m 1 c 1 = m 2 + m 1 c 0 = m 1 \begin{cases}c_4=m_2\\c_3=m_2\\c_2=m_2+m_1\\c_1=m_2+m_1\\c_0=m_1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧c4=m2c3=m2c2=m2+m1c1=m2+m1c0=m1
{ c 1 + c 2 = 0 c 3 + c 4 = 0 c 0 + c 2 + c 4 = 0 \begin{cases}c_1+c_2=0\\c_3+c_4=0\\c_0+c_2+c_4=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧c1+c2=0c3+c4=0c0+c2+c4=0
码字之间存在线性关系，所以该码是线性分组码。
(2)该码的码长为 5,
编码效率 η = k n = 2 5 = 40 % \eta=\frac kn=\frac25=40\% η=nk=52=40%
最小码距 d m i n = 3 d_{\mathrm{min}}=3 dmin=3
(3)根据码字之间的线性关系，可得一致校验矩阵为：
H = [ 00011 11000 10101 ] H=\begin{bmatrix}00011\\[0.3em]11000\\[0.3em]10101\end{bmatrix} H= 000111100010101
再根据： C ˉ = M ‾ G \bar{C}=\overline{M}G Cˉ=MG得
G = [ 11110 00111 ] G=\begin{bmatrix}11110\\[0.3em]00111\end{bmatrix} G=[1111000111]
(4)对 G 进行初等变换，得到标准生成矩阵
G ′ = [ 10111 01011 ] G'=\begin{bmatrix}10111\\01011\end{bmatrix} G′=[1011101011]
T3
设二元(6,3)码的生成矩阵为：
G
=
[
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
]
G=\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&0&1\\0&0&1&1&1&0\end{bmatrix}
G=
100010001001101110
试给出其一致校验矩阵。
解：
G
=
[
I
k
P
]
G=[I_kP]
G=[IkP]
H = [ P T I n − k ] = [ 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ] H=[P^TI_{n-k}]=\begin{bmatrix}0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1\end{bmatrix} H=[PTIn−k]= 011001110100010001