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代码随想录算法训练营第三十二天 | 动态规划理论基础 509.斐波那契数 70.爬楼梯 746.使用最小花费爬楼梯

article 2024/12/25 13:48:45

动态规划理论基础：

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什么是动态规划：

如果某一问题有很多重叠子问题，那么就适用于动态规划(Dynamic Programming简称DP)。
动态规划每个状态是由上一个状态推导得到的，这就是与贪心的区别，贪心是局部直接选最优，与上一个状态没有关系

动态规划解题步骤（※）：

五部曲：
1.确定dp数组以及下标的含义
2.确定递推公式
3.dp数组如何初始化
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组

动态规划如何debug（※）：

① 代码出现问题最好把dp数组打印出来，查看是否是按照自己的思路进行推导的。
② 如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是递推公式、初始化或者遍历顺序的问题；如果不一样，代码实现细节的问题==？==
③ 写代码前将状态转移在dp数组上的具体情况模拟一遍，确定最后推出的是想要的结果。然后再写代码。

LeetCode 509.斐波那契数：

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题目链接：509.斐波那契数

思路：

动态规划五部曲：
首先我们使用一维数组来保存递推的结果
① dp数组及下标含义：
dp[i]的含义为：第 i 个数(i从0开始)的斐波那契数值为dp[i]
② 递推公式：

dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2] , n > 1

③ 如何初始化

dp[0] = 0
dp[1] = 1

④ 遍历顺序
由递推公式dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - 2]可知，dp[n]要用到dp[n - 1]和dp[n - 2]的信息，因此遍历顺序为从前往后。
⑤ 举例推导dp数组
n = 5
在这里插入图片描述

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        # 初始化dp数组
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1] = 1
        # 递推
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
实际上只需要维护两个数值，不需要记录整个序列

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        # 只需要用两个变量保存前面的数即可
        dp = [0, 1]
        for i in range(2, n + 1):
            sumDp = dp[0] + dp[1]
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = sumDp
        return dp[1]

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

感悟：

熟悉了动态规划五部曲。
含义、递推、初始化、遍历顺序、举例

LeetCode 70.爬楼梯：

文章链接
题目链接：70.爬楼梯

思路：

动态规划五部曲：
本次我们还是使用一维数组保存递推结果
① dp数组及下标含义：
dp[i]：表示上到第 i 阶台阶有dp[i]种方法
② 递推式：
模拟几次就知道，上到第 i 阶台阶，既可以从第 i - 1阶上一步，也可以从第 i - 2阶上两步，因此上到第 i 阶台阶的方法数为上到第 i - 1阶的方法 + 上到第 i - 2阶的方法

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

③ 如何初始化：
dp[1] = 1，那么接下来是否需要初始化dp[0]
1）按照题目意思解析dp[0]应当为0，因此呆在原地不动
2）按照dp[2]来的话，dp[0]应当为1。
但是题目中给出的n从1开始，dp[0]无意义。
因此直接初始化为

dp[1] = 1, dp[2] = 2

④ 遍历方式:
根据递推式，dp[i]需要用到dp[i - 1]和dp[i - 2]的信息，因此是从前往后遍历
⑤ 举例推导
n = 5
在这里插入图片描述

"""
正常使用dp数组
"""
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        # 初始化
        dp = [1] * (n + 1)
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

"""
简化，因为只用到了前面两个元素，因此只采用两个变量保存
"""
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        # 初始化
        dp = [0, 1, 2]
        for i in range(3, n + 1):
            sumDp = dp[1] + dp[2]
            dp[1] = dp[2]
            dp[2] = sumDp
        return dp[2]

感悟：

进一步熟悉了动态规划五部曲

LeetCode 746.使用最小花费爬楼梯：

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题目链接：746.使用最小花费爬楼梯

思路：

从第 i - 1 阶台阶向上跳需要花费 cost[i - 1]
动态规划五部曲：
还是使用一维数组记录递推的结果
① dp数组及下标含义：
dp[i]：表示到达第 i 阶台阶的最低花费为dp[i]
② 递推式:
到达第 i 阶台阶有两种：
1）从第 i - 1 阶到达，花费为dp[i - 1] + cost[i - 1]
2）从第 i - 2阶到达，花费为dp[i - 2] + cost[i - 2]
因为要求最低花费，因此是两个求最小

dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])

③ 初始化
能从下标为0或下标为1的台阶开始爬楼梯，而支付费用只是从楼梯向上爬，因此开始的第一步是不需要支付费用的。因此第一步的花费最低为0，即dp[0] = dp[1] = 0

dp[0] = dp[1] = 0	# dp[i]是最低花费

④ 遍历顺序：
dp[i]需要用到dp[i - 1]和dp[i - 2]的信息，因此遍历顺序为从前往后
⑤ 举例推导
cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
下图中的箭头表示dp[i]是由哪阶台阶跳过来的，其中红色的箭头表示最低花费的向上爬到楼顶的跳法
在这里插入图片描述

"""
正常使用dp数组
"""
class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        n = len(cost)   # 楼顶
        dp = [0] * (n + 1)  # 初始化
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        return dp[n]
        
"""
实际上只需要用到两个变量记录即可
"""
class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        # n = len(cost)   # 楼顶
        # dp = [0] * (n + 1)  # 初始化
        dp = [0, 0] # 默认第一步都是不花费体力的
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            minDp = min(dp[0] + cost[i - 2], dp[1] + cost[i - 1])
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = minDp
        return dp[1]